Страница 321 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

792 На рисунке 5.10 изображён график, показывающий ежедневное количество дорожно-транспортных происшествий (ДТП) на улицах города Новинска в январе текущего года.

а) Постройте по этим данным интервальную таблицу частот, разбив диапазон значений от 20 до 50 на 6 равных интервалов.

б) Нарисуйте гистограмму частот.

в) Определите среднее количество ДТП в день.

Для решения задачи необходимо использовать данные с графика, упомянутого в условии. Поскольку сам график (рисунок 5.10) не был предоставлен, для решения были использованы данные из соответствующего задания в учебнике (№792, Алгебра, 9 класс, авторы А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир). Ежедневное количество ДТП в январе (31 день) следующее:

24, 25, 25, 28, 30, 32, 34, 35, 35, 36, 38, 40, 40, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 43, 45, 45, 46, 46, 47, 48, 48, 49, 49, 50, 50.

а) Постройте по этим данным интервальную таблицу частот, разбив диапазон значений от 20 до 50 на 6 равных интервалов.

1. Определим ширину каждого интервала. Диапазон значений от 20 до 50 имеет длину $50 - 20 = 30$.

2. Разделим диапазон на 6 равных интервалов. Ширина каждого интервала будет $30 / 6 = 5$.

3. Сформируем интервалы. Принято включать левую границу и не включать правую, за исключением последнего интервала, в который включаются обе границы:

• $[20; 25)$
• $[25; 30)$
• $[30; 35)$
• $[35; 40)$
• $[40; 45)$
• $[45; 50]$

4. Подсчитаем частоту (количество дней) для каждого интервала, проанализировав исходные данные:

• Интервал $[20; 25)$: 24 (1 значение). Частота = 1.
• Интервал $[25; 30)$: 25, 25, 28 (3 значения). Частота = 3.
• Интервал $[30; 35)$: 30, 32, 34 (3 значения). Частота = 3.
• Интервал $[35; 40)$: 35, 35, 36, 38 (4 значения). Частота = 4.
• Интервал $[40; 45)$: 40, 40, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 43 (9 значений). Частота = 9.
• Интервал $[45; 50]$: 45, 45, 46, 46, 47, 48, 48, 49, 49, 50, 50 (11 значений). Частота = 11.

Проверим общее количество: $1 + 3 + 3 + 4 + 9 + 11 = 31$, что соответствует количеству дней в январе.

Составим итоговую интервальную таблицу частот:

Ответ: Интервальная таблица частот представлена выше.

б) Нарисуйте гистограмму частот.

Гистограмма строится на основе интервальной таблицы частот. По горизонтальной оси откладываются интервалы количества ДТП, а по вертикальной оси — частота (количество дней). Высота каждого столбца гистограммы соответствует частоте для данного интервала.

Ответ: Гистограмма частот представлена выше.

в) Определите среднее количество ДТП в день.

Среднее количество ДТП в день (среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Для наиболее точного результата используем исходные данные, а не сгруппированные.

1. Найдем сумму всех зарегистрированных ДТП за январь ($S$):

$S = 24 + 2 \cdot 25 + 28 + 30 + 32 + 34 + 2 \cdot 35 + 36 + 38 + 3 \cdot 40 + 41 + 2 \cdot 42 + 3 \cdot 43 + 2 \cdot 45 + 2 \cdot 46 + 47 + 2 \cdot 48 + 2 \cdot 49 + 2 \cdot 50$

$S = 24 + 50 + 28 + 30 + 32 + 34 + 70 + 36 + 38 + 120 + 41 + 84 + 129 + 90 + 92 + 47 + 96 + 98 + 100 = 1239$

2. Общее количество дней в январе (количество наблюдений $n$) равно 31.

3. Вычислим среднее значение ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{1239}{31} \approx 39.9677...$

Округляя до сотых, получаем 39,97. Таким образом, среднее количество ДТП в день в январе составляет примерно 40.

Ответ: Среднее количество ДТП в день составляет приблизительно 39,97.

793 В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

а) Найдите среднее арифметическое роста участников соревнований.

б) В каком интервале находится медиана роста спортсменов?

а) Найдите среднее арифметическое роста участников соревнований.

Для нахождения среднего арифметического роста для сгруппированных данных, мы используем середины интервалов в качестве представительных значений для каждого интервала. Алгоритм решения:

1. Найти середину каждого интервала роста. Середина интервала вычисляется как среднее арифметическое его границ.
2. Найти общее число участников.
3. Вычислить взвешенную сумму, умножив каждую середину интервала на соответствующее число участников.
4. Разделить полученную сумму на общее число участников, чтобы найти среднее арифметическое.

1. Находим середины интервалов ($x_i$):

• Для 160–165 см: $x_1 = (160 + 165) / 2 = 162.5$
• Для 165–170 см: $x_2 = (165 + 170) / 2 = 167.5$
• Для 170–175 см: $x_3 = (170 + 175) / 2 = 172.5$
• Для 175–180 см: $x_4 = (175 + 180) / 2 = 177.5$
• Для 180–185 см: $x_5 = (180 + 185) / 2 = 182.5$
• Для 185–190 см: $x_6 = (185 + 190) / 2 = 187.5$
• Для 190–195 см: $x_7 = (190 + 195) / 2 = 192.5$

2. Находим общее число участников ($N$):

$N = 5 + 12 + 19 + 25 + 10 + 7 + 2 = 80$ участников.

3. Вычисляем среднее арифметическое ($\bar{x}$) по формуле для взвешенного среднего, где $f_i$ – частота (число участников) в i-м интервале:

$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}$

$\bar{x} = \frac{162.5 \cdot 5 + 167.5 \cdot 12 + 172.5 \cdot 19 + 177.5 \cdot 25 + 182.5 \cdot 10 + 187.5 \cdot 7 + 192.5 \cdot 2}{80}$

$\bar{x} = \frac{812.5 + 2010 + 3277.5 + 4437.5 + 1825 + 1312.5 + 385}{80}$

$\bar{x} = \frac{14060}{80} = 175.75$ см.

Ответ: Среднее арифметическое роста участников составляет 175,75 см.

б) В каком интервале находится медиана роста спортсменов?

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Для интервального ряда медианный интервал — это тот, в котором находится элемент, стоящий в середине ряда.

1. Находим общее число участников ($N$).
2. Определяем порядковый номер медианного участника.
3. Используя накопленные (кумулятивные) частоты, находим интервал, в который попадает этот участник.

1. Общее число участников $N = 80$.

2. Поскольку общее число участников четное, медиана будет находиться между значениями 40-го ($N/2$) и 41-го ($N/2 + 1$) участников в упорядоченном по росту ряду. Нам нужно найти интервал, в котором находятся эти участники.

3. Рассчитаем накопленные частоты (количество участников с ростом меньше верхней границы интервала):

• Интервал 160–165: 5 участников.
• Интервал 165–170: $5 + 12 = 17$ участников (с 1-го по 17-й).
• Интервал 170–175: $17 + 19 = 36$ участников (с 18-го по 36-й).
• Интервал 175–180: $36 + 25 = 61$ участник (с 37-го по 61-й).

Мы видим, что 36-й участник находится в интервале 170-175, а участники с 37-го по 61-й находятся в следующем интервале. Поскольку порядковые номера наших медианных участников — 40 и 41, они оба попадают в интервал 175–180 см. Следовательно, медиана роста находится в этом интервале.

Ответ: Медиана роста спортсменов находится в интервале 175–180 см.