Номер 789, страница 319 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 789, страница 319.

789 Вы, наверное, удивились, что число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается так же, как и элемент треугольника Паскаля, расположенный в $n$-й строке на месте с номером $k$. Это не случайно, ведь это те же самые числа, они же — биномиальные коэффициенты.

1) Найдите по комбинаторной формуле, связывающей число сочетаний, размещений и перестановок, следующие сочетания: $C_6^1$, $C_6^2$, $C_6^3$, $C_6^4$, $C_6^5$. Сравните их с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля.

2) Найдите $C_7^4$, $C_8^3$, $C_{10}^5$ по формуле и сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

1)

Для нахождения числа сочетаний $C_n^k$ (число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка) используется следующая комбинаторная формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Найдем значения для заданных сочетаний при $n=6$:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{1 \cdot 5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6$

Теперь сравним полученные результаты с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля. Нумерация строк в треугольнике Паскаля начинается с нуля, поэтому "шестая строка" соответствует $n=6$.

Строки треугольника Паскаля:

n=0: 1

n=1: 1 1

n=2: 1 2 1

n=3: 1 3 3 1

n=4: 1 4 6 4 1

n=5: 1 5 10 10 5 1

n=6: 1 6 15 20 15 6 1

Элементы в строке $n$ соответствуют значениям $C_n^k$ для $k$ от 0 до $n$. Таким образом, для строки $n=6$ элементы соответствуют $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

Сравнивая наши вычисления ($C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6$) с выделенными числами в шестой строке треугольника Паскаля, мы видим, что они полностью совпадают.

Ответ: $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$. Значения совпадают с соответствующими элементами шестой строки треугольника Паскаля.

2)

Найдем значения указанных сочетаний по той же формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{30240}{120} = 252$

Теперь сравним эти результаты с числами из треугольника Паскаля.

Для $C_7^4$: Седьмая строка ($n=7$) треугольника Паскаля: 1 7 21 35 35 21 7 1. Элемент с номером $k=4$ (пятый по счету, так как нумерация с $k=0$) равен 35. Результат совпадает.

Для $C_8^3$: Восьмая строка ($n=8$) получается из седьмой: 1 8 28 56 70 56 28 8 1. Элемент с номером $k=3$ (четвертый по счету) равен 56. Результат совпадает.

Для $C_{10}^5$: Построение треугольника Паскаля до десятой строки подтвердит, что элемент с номером $k=5$ в строке $n=10$ равен 252. Результат совпадает.

Ответ: $C_7^4=35$, $C_8^3=56$, $C_{10}^5=252$. Значения, полученные по формуле, совпадают с числами из соответствующих строк треугольника Паскаля.