Номер 788, страница 319 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 788, страница 319.

788 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) В математике есть формула для нахождения числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Используя эту формулу, решите ещё раз задачи 777 (а), 778 (а), 779 (а). Получился ли у вас тот же ответ?

2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1) В математике есть формула для нахождения числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Используя эту формулу, решите ещё раз задачи 777 (а), 778 (а), 779 (а). Получился ли у вас тот же ответ?

Поскольку условия задач 777-779 не предоставлены, мы предположим их содержание, исходя из того, что они решаются с помощью формулы числа размещений. Размещениями из $n$ элементов по $k$ называют упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. Задачи на размещения обычно связаны с выбором, где важен порядок. Применение формулы должно давать тот же результат, что и решение с помощью комбинаторного правила умножения.

Решение для гипотетической задачи 777 (а):
Предположим, условие задачи было: "Сколькими способами можно составить расписание из 3 разных уроков, если в классе изучается 8 предметов?"
В этой задаче порядок уроков важен. Мы выбираем 3 предмета из 8 и расставляем их в определенном порядке. Это является размещением.
Здесь $n=8$ (общее число предметов), $k=3$ (число уроков в расписании).
Используем формулу для числа размещений:
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
Ранее такая задача могла быть решена правилом умножения: для первого урока есть 8 вариантов, для второго — 7 (так как предметы разные), для третьего — 6. Всего способов: $8 \times 7 \times 6 = 336$. Результаты совпадают.

Решение для гипотетической задачи 778 (а):
Предположим, условие задачи было: "В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали?"
Порядок распределения медалей важен. Мы выбираем 3 команды из 10 и назначаем им призовые места.
Здесь $n=10$ (число команд), $k=3$ (число медалей).
Используем формулу для числа размещений:
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
При решении правилом умножения: 10 претендентов на золото, 9 — на серебро, 8 — на бронзу. Всего способов: $10 \times 9 \times 8 = 720$. Результаты совпадают.

Решение для гипотетической задачи 779 (а):
Предположим, условие задачи было: "Сколькими способами можно выбрать из 12 человек старосту и его заместителя?"
Должности старосты и заместителя различны, поэтому порядок выбора важен.
Здесь $n=12$ (общее число человек), $k=2$ (число должностей).
Используем формулу для числа размещений:
$A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.
При решении правилом умножения: 12 кандидатов на должность старосты, после его выбора остается 11 кандидатов на должность заместителя. Всего способов: $12 \times 11 = 132$. Результаты совпадают.

Ответ: Да, при решении задач с помощью формулы для числа размещений получаются те же ответы, что и при решении с помощью комбинаторного правила умножения.

2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Доказательство:

Рассмотрим связь между сочетаниями, размещениями и перестановками.
Число сочетаний $C_n^k$ — это количество способов выбрать неупорядоченный набор из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.
Число размещений $A_n^k$ — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ и расположить их в определенном порядке. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Число перестановок $P_k$ — это количество способов упорядочить (переставить) $k$ различных элементов. Формула для числа перестановок: $P_k = k!$.

Чтобы составить упорядоченный набор из $k$ элементов (размещение), можно действовать в два этапа:
Этап 1: Выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка. Число способов сделать это по определению равно $C_n^k$.
Этап 2: Упорядочить эти $k$ выбранных элементов. Число способов упорядочить $k$ элементов равно $P_k = k!$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выполнить оба этапа последовательно равно произведению числа способов на каждом этапе. Это общее число способов и есть число размещений $A_n^k$.
Следовательно, мы можем записать:
$A_n^k = C_n^k \times P_k$

Выразим из этого равенства $C_n^k$:
$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$

Теперь подставим известные формулы для $A_n^k$ и $P_k$:
$C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}$

Преобразуя полученную дробь, получаем искомую формулу для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Формула доказана.

Ответ: Формула для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ доказана путем выражения числа размещений $A_n^k$ как произведения числа сочетаний $C_n^k$ на число перестановок $P_k$ ($A_n^k = C_n^k \times P_k$) и последующей подстановки известных формул $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и $P_k = k!$.