Номер 786, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 786, страница 318.

Определите вероятность рассматриваемого события (786–788).

786 a) Пять друзей: Коля, Саша, Ваня, Петя и Толя — достали два билета на новый фильм. Кто пойдёт в кино, решили определять по жребию. Какова вероятность того, что это будут Коля и Саша?

б) Кодовый замок имеет десять кнопок с цифрами от 0 до 9. Он открывается одновременным нажатием трёх определённых кнопок. Какова вероятность того, что человек, не знающий кода, откроет замок с первого раза?

а) Для решения этой задачи нужно определить общее количество способов выбрать двух друзей из пяти и количество благоприятных исходов.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 человека из 5. Поскольку порядок выбора не имеет значения (пара Коля и Саша — это то же самое, что и Саша и Коля), мы используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Здесь $n=5$ (общее количество друзей), а $k=2$ (количество билетов).
Общее число возможных пар (исходов) равно:

$N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Итак, существует 10 различных пар друзей, которые могут пойти в кино.

Благоприятный исход — это тот, при котором билеты достанутся Коле и Саше. Такой исход только один, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ данного события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) В этой задаче нужно найти вероятность угадать правильную комбинацию из трёх кнопок на кодовом замке с первого раза.

На замке 10 кнопок (с цифрами от 0 до 9). Код состоит из одновременного нажатия трёх кнопок. Это означает, что порядок нажатия не важен. Следовательно, нам нужно найти общее количество сочетаний из 10 кнопок по 3.

Общее число возможных комбинаций $N$ равно числу сочетаний из 10 по 3:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов нажать три кнопки одновременно.

Правильная комбинация, открывающая замок, только одна. Значит, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ открыть замок с первой попытки равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$

Ответ: $\frac{1}{120}$