Номер 785, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 785, страница 318.

785 В футбольной секции 24 человека. Сколькими способами можно выбрать из них футбольную команду (11 человек) так, чтобы Женя и Серёжа не входили в команду одновременно?

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов сформировать футбольную команду из 11 человек из 24, при условии, что два конкретных человека (Женя и Серёжа) не могут быть в команде одновременно. Эту задачу можно решить двумя основными способами.

Способ 1: Метод исключения

Этот подход заключается в том, чтобы сначала найти общее число способов сформировать команду без каких-либо ограничений, а затем вычесть из него число "нежелательных" способов, то есть тех, где Женя и Серёжа оказываются в команде вместе.

Шаг 1. Найдём общее число способов выбрать 11 футболистов из 24. Так как порядок выбора игроков не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для $n=24$ (всего человек) и $k=11$ (размер команды) получаем:
$C_{24}^{11} = \frac{24!}{11!(24-11)!} = \frac{24!}{11!13!} = 2\,496\,144$ способов.

Шаг 2. Теперь найдём число способов, при которых Женя и Серёжа оба входят в команду. Если они уже гарантированно в команде, то нам остаётся выбрать ещё $11 - 2 = 9$ игроков. Выбирать их нужно из оставшихся $24 - 2 = 22$ человек.
Число таких "нежелательных" способов равно:
$C_{22}^{9} = \frac{22!}{9!(22-9)!} = \frac{22!}{9!13!} = 497\,420$ способов.

Шаг 3. Чтобы найти искомое количество способов, вычтем из общего числа способов число способов, когда Женя и Серёжа в команде вместе.
$N = C_{24}^{11} - C_{22}^{9} = 2\,496\,144 - 497\,420 = 1\,998\,724$ способа.

Ответ: $1\,998\,724$

Способ 2: Прямой подсчёт благоприятных исходов

Этот метод заключается в прямом подсчёте всех вариантов, которые удовлетворяют условию задачи. Условие "Женя и Серёжа не входят в команду одновременно" можно разбить на три непересекающихся (взаимоисключающих) случая.

1. Женя входит в команду, а Серёжа — нет. В этом случае одно место в команде занято Женей. Нам нужно добрать $11 - 1 = 10$ игроков. Выбирать их нужно из группы, в которую не входят ни Женя, ни Серёжа, то есть из $24 - 2 = 22$ человек.
Количество способов: $C_{22}^{10} = \frac{22!}{10!(22-10)!} = \frac{22!}{10!12!} = 646\,646$.

2. Серёжа входит в команду, а Женя — нет. Эта ситуация полностью симметрична предыдущей. Количество способов будет таким же.
Количество способов: $C_{22}^{10} = 646\,646$.

3. Ни Женя, ни Серёжа не входят в команду. В этом случае мы исключаем обоих из рассмотрения и выбираем все 11 игроков из оставшихся $24 - 2 = 22$ человек.
Количество способов: $C_{22}^{11} = \frac{22!}{11!(22-11)!} = \frac{22!}{11!11!} = 705\,432$.

Поскольку эти три случая не пересекаются, общее количество способов, удовлетворяющих условию, равно их сумме:
$N = C_{22}^{10} + C_{22}^{10} + C_{22}^{11} = 646\,646 + 646\,646 + 705\,432 = 1\,998\,724$ способа.

Ответ: $1\,998\,724$