Номер 779, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 779, страница 318.

779 а) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду для игры на первой, второй, третьей, четвёртой, пятой досках в турнире?

б) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду из 5 человек для турнира?

Запишите ответ к задаче в общем виде, используя обозначения для числа размещений, сочетаний, перестановок (780—785).

а) В этой задаче необходимо выбрать 5 человек из 15 и назначить каждому из них определенную доску для игры (первую, вторую, третью, четвертую, пятую). Поскольку важен не только состав команды, но и распределение игроков по доскам, порядок выбора имеет значение. Следовательно, для решения нужно использовать формулу для числа размещений (arrangements) из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В данном случае общее число шахматистов $n = 15$, а количество игроков в команде (и количество досок) $k = 5$.

Рассчитаем количество способов:

$A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$.

В общем виде, согласно требованию задачи, ответ записывается с использованием обозначения для числа размещений: $A_{15}^5$.

Ответ: $360360$ способов.

б) В данном случае тренеру нужно просто набрать команду из 5 человек. Порядок, в котором он выбирает шахматистов, не важен, так как их роли внутри команды (распределение по доскам) не уточняются. Важен лишь итоговый состав группы. Поэтому для решения используется формула для числа сочетаний (combinations) из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = 15$ и $k = 5$.

Рассчитаем количество способов:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.

После сокращения дроби получаем:

$C_{15}^5 = 7 \times 13 \times 3 \times 11 = 3003$.

В общем виде, согласно требованию задачи, ответ записывается с использованием обозначения для числа сочетаний: $C_{15}^5$.

Ответ: $3003$ способа.