Номер 777, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 777, страница 318.

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (777–779).

777 a) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг с тремя горизонтальными полосами, если имеется материал 12 различных цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок?

а) В данной задаче рассматриваются размещения, так как важен порядок расположения цветов на флаге. Поскольку полосы на флаге горизонтальные, то флаг, у которого верхняя полоса, например, белая, средняя — синяя, а нижняя — красная, будет отличаться от флага с полосами "синий, белый, красный". Таким образом, мы имеем дело с упорядоченными наборами.

Нам нужно выбрать 3 цвета из 12 и расположить их в определённом порядке. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество цветов $n = 12$, а количество полос на флаге $k = 3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1320$

Также можно рассуждать, используя правило умножения: для верхней полосы есть 12 вариантов выбора цвета. Для средней полосы остаётся 11 вариантов (так как один цвет уже использован и цвета должны быть различными). Для нижней полосы остаётся 10 вариантов. Общее число способов равно произведению вариантов для каждой полосы:

$12 \times 11 \times 10 = 1320$

Ответ: 1320 способами.

б) В этой задаче рассматриваются сочетания, так как порядок выбора красок не имеет значения. Нам нужно просто выбрать набор из 3 красок, и неважно, в какой последовательности мы их выбрали. Набор {красная, зелёная, синяя} краска — это то же самое, что и набор {зелёная, синяя, красная}.

Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество красок $n = 12$, а количество красок, которые нужно выбрать, $k = 3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$

Ответ: 220 способами.