Номер 770, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Статистическое оценивание и прогноз. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 770, страница 312.

770 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Кубик бросают три раза. Каково наиболее вероятное значение суммы выпавших очков?

Для решения этой задачи нам необходимо найти значение суммы очков, которое может выпасть при трёх бросках игрального кубика с наибольшей вероятностью. Наибольшая вероятность соответствует наибольшему числу способов, которыми можно получить данную сумму.

При каждом броске кубика может выпасть число очков от 1 до 6. Обозначим результаты трёх бросков как $X_1$, $X_2$ и $X_3$. Каждый из этих результатов является случайной величиной, принимающей значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Мы ищем наиболее вероятное значение суммы $S = X_1 + X_2 + X_3$.

Минимально возможная сумма очков: $1 + 1 + 1 = 3$.
Максимально возможная сумма очков: $6 + 6 + 6 = 18$.
Таким образом, сумма очков может принимать любое целое значение от 3 до 18.

Наиболее вероятное значение суммы (или мода распределения) для суммы нескольких независимых одинаково распределённых случайных величин, как правило, находится вблизи математического ожидания (среднего значения) этой суммы.

Математическое ожидание для одного броска кубика равно:
$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Математическое ожидание для суммы трёх бросков равно сумме математических ожиданий для каждого броска:
$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$

Распределение сумм очков при бросании кубиков является симметричным относительно своего математического ожидания. В данном случае, центр симметрии — 10.5. Это означает, что вероятность получить сумму $k$ равна вероятности получить сумму $21-k$ (так как $10.5 = (k + (21-k))/2$). Наибольшие вероятности будут у целых чисел, ближайших к центру симметрии 10.5. Такими числами являются 10 и 11. Из-за симметрии, вероятности получить сумму 10 и сумму 11 должны быть одинаковы.

Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем количество комбинаций, дающих в сумме 10 и 11. Общее количество всех возможных исходов при трёх бросках равно $6 \times 6 \times 6 = 216$.

Количество комбинаций для суммы 10:
Нужно найти все тройки чисел $(x_1, x_2, x_3)$ где $x_i \in \{1,...,6\}$, такие что $x_1+x_2+x_3=10$.

• {1, 3, 6}: 3! = 6 перестановок (1,3,6; 1,6,3; 3,1,6; 3,6,1; 6,1,3; 6,3,1)
• {1, 4, 5}: 3! = 6 перестановок
• {2, 2, 6}: 3!/2! = 3 перестановки (2,2,6; 2,6,2; 6,2,2)
• {2, 3, 5}: 3! = 6 перестановок
• {2, 4, 4}: 3!/2! = 3 перестановки
• {3, 3, 4}: 3!/2! = 3 перестановки

Всего способов получить сумму 10: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Количество комбинаций для суммы 11:
Нужно найти все тройки чисел $(x_1, x_2, x_3)$ где $x_i \in \{1,...,6\}$, такие что $x_1+x_2+x_3=11$.

• {1, 4, 6}: 3! = 6 перестановок
• {1, 5, 5}: 3!/2! = 3 перестановки
• {2, 3, 6}: 3! = 6 перестановок
• {2, 4, 5}: 3! = 6 перестановок
• {3, 3, 5}: 3!/2! = 3 перестановки
• {3, 4, 4}: 3!/2! = 3 перестановки

Всего способов получить сумму 11: $6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Для сравнения, посчитаем количество комбинаций для соседних значений, например, 9 и 12.

• Для суммы 9: {1,2,6}, {1,3,5}, {1,4,4}, {2,2,5}, {2,3,4}, {3,3,3}. Число способов: $6+6+3+3+6+1=25$.
• Для суммы 12: {1,5,6}, {2,4,6}, {2,5,5}, {3,3,6}, {3,4,5}, {4,4,4}. Число способов: $6+6+3+3+6+1=25$.

Как мы видим, максимальное количество комбинаций (27) достигается для сумм 10 и 11. Следовательно, эти два значения суммы являются наиболее вероятными.

Ответ: Наиболее вероятными значениями суммы выпавших очков являются 10 и 11.