Страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

762 При изучении состояния знаний девятиклассников была обследована представительная выборка в 3000 учащихся. За контрольную работу оценку «5» получили 660 учащихся. Какова вероятность того, что наудачу выбранный девятиклассник выполнит эту контрольную работу на «5»?

Для нахождения вероятности события воспользуемся её классическим определением. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула выглядит следующим образом:

$P = \frac{m}{n}$

В условиях задачи даны следующие данные:

• Общее число учащихся в выборке (общее число исходов) $n = 3000$.
• Число учащихся, получивших оценку «5» (число благоприятных исходов) $m = 660$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления вероятности:

$P = \frac{660}{3000}$

Теперь необходимо упростить полученную дробь. Сначала сократим её на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе:

$P = \frac{66}{300}$

Затем сократим дробь на 6, так как и 66, и 300 делятся на 6:

$66 \div 6 = 11$
$300 \div 6 = 50$

Таким образом, получаем:

$P = \frac{11}{50}$

Для получения ответа в виде десятичной дроби, разделим 11 на 50 или умножим числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{11 \times 2}{50 \times 2} = \frac{22}{100} = 0,22$

Ответ: 0,22.

763 Частота попадания в мишень в тире в среднем составляет 0,6. За день около 100 пуль улетели «в молоко». Сколько всего выстрелов было сделано?

Пусть $N$ — это общее количество выстрелов, сделанных в тире за день.

Частота попадания в мишень по условию задачи составляет 0,6. События «попадание» и «промах» (пуля улетела «в молоко») являются противоположными, так как других исходов нет. Сумма частот противоположных событий всегда равна 1. Следовательно, мы можем найти частоту промахов:

$f_{промаха} = 1 - f_{попадания} = 1 - 0,6 = 0,4$.

Это означает, что 40% от общего числа выстрелов были промахами.

Частота промахов также определяется как отношение числа промахов к общему числу выстрелов. По условию, число промахов равно 100. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$0,4 = \frac{100}{N}$

Теперь найдем общее количество выстрелов $N$, решив это уравнение:

$N = \frac{100}{0,4}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$N = \frac{100 \times 10}{0,4 \times 10} = \frac{1000}{4}$

$N = 250$

Следовательно, всего было сделано 250 выстрелов.

Ответ: 250 выстрелов.

764 РАССУЖДАЕМ Пётр уже 10 раз подряд участвует в ежене- дельной лотерее, но ни разу не выиграл. Однако он продолжа- ет играть, утверждая: «Лотерея — случайная игра, иногда вы- игрываешь, иногда проигрываешь. Я уже долго не выигрывал, поэтому уверен, что выиграю в одном из следующих розыгры- шей». Согласны ли вы с его рассуждением? Почему?

Нет, с рассуждением Петра согласиться нельзя.

Его логика является классическим примером когнитивного искажения, известного как «ошибка игрока» (или заблуждение Монте-Карло). Это заблуждение заключается в ошибочной вере в то, что если какое-то случайное событие происходит чаще, чем ожидалось, в прошлом, то в будущем оно будет происходить реже (и наоборот).

Ключевым моментом в понимании лотереи является концепция независимых событий в теории вероятностей. Каждый новый розыгрыш лотереи — это абсолютно новое, независимое событие. Результаты предыдущих тиражей никак не влияют на исход текущего или будущих тиражей. У лотерейного барабана или генератора случайных чисел нет «памяти» о прошлых выигрышах или проигрышах.

Пусть вероятность выигрыша в одном конкретном розыгрыше лотереи равна $p$. Эта вероятность одинакова для каждого тиража.

• Вероятность выиграть в 1-м розыгрыше: $p$.
• Вероятность выиграть в 10-м розыгрыше: $p$.
• Вероятность выиграть в 11-м розыгрыше (после 10 проигрышей подряд): всё равно $p$.

Прошлые проигрыши Петра не увеличивают его шансы на победу в будущем. Его уверенность основана на интуитивном, но неверном представлении о «справедливости» или «равновесии» во вселенной случайных чисел. Шансы остаются прежними в каждом отдельном розыгрыше.

Ответ: Рассуждение Петра неверно, так как каждый розыгрыш лотереи является независимым событием, и исход предыдущих розыгрышей не влияет на вероятность выигрыша в будущем. Его шансы на выигрыш не увеличились после серии проигрышей.

765 Вероятность поражения мишени биатлонистом Стрельцовым в положении стоя равна 77%, в положении лёжа — 92%. Сколько промахов следует ожидать в гонке, в которой биатлонист сделает по 10 выстрелов в каждом положении?

Для решения этой задачи необходимо найти математическое ожидание количества промахов. Ожидаемое количество событий равно произведению числа испытаний на вероятность этого события в одном испытании. В данном случае у нас есть две серии испытаний: стрельба стоя и стрельба лежа.

Сначала определим вероятности промаха для каждого положения.

1. Стрельба в положении стоя.

Вероятность попадания в положении стоя равна 77%, что в долях составляет 0,77. Вероятность промаха — это событие, противоположное попаданию, поэтому ее можно найти, вычтя вероятность попадания из 1:

$P_{промах\_стоя} = 1 - P_{попадание\_стоя} = 1 - 0,77 = 0,23$

Биатлонист делает 10 выстрелов в положении стоя. Ожидаемое количество промахов в этой серии:

$M_{стоя} = 10 \times 0,23 = 2,3$

2. Стрельба в положении лежа.

Вероятность попадания в положении лежа равна 92%, что в долях составляет 0,92. Вероятность промаха в этом положении:

$P_{промах\_лежа} = 1 - P_{попадание\_лежа} = 1 - 0,92 = 0,08$

Биатлонист делает 10 выстрелов в положении лежа. Ожидаемое количество промахов в этой серии:

$M_{лежа} = 10 \times 0,08 = 0,8$

3. Общее ожидаемое количество промахов.

Чтобы найти общее ожидаемое количество промахов за всю гонку, нужно сложить ожидаемое количество промахов для обоих положений:

$M_{общ} = M_{стоя} + M_{лежа} = 2,3 + 0,8 = 3,1$

Ответ: 3,1

766 РАССУЖДАЕМ Абонент забыл последнюю цифру в номере телефона и набирает её наугад. Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать? Что более вероятно — набрать нужный номер с первой попытки или со второй?

Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать?

Последняя цифра телефонного номера может быть любой из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего существует 10 возможных вариантов для последней цифры, из которых только один является правильным.

Худший случай — это сценарий, при котором абонент последовательно перебирает все неправильные варианты, и только самая последняя попытка оказывается успешной. Поскольку всего 10 цифр и одна из них правильная, то неправильных цифр — 9.

Абонент сделает 9 неудачных попыток, и только 10-я попытка (когда останется единственный неиспробованный вариант) будет верной. Таким образом, максимальное количество попыток равно общему числу возможных цифр.

Ответ: 10 попыток.

Что более вероятно — набрать нужный номер с первой попытки или со второй?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассчитать и сравнить вероятности двух событий.

Событие A: нужный номер набран с первой попытки.
Всего существует 10 равновозможных вариантов для последней цифры. Благоприятный исход (правильная цифра) только один. Вероятность угадать правильную цифру с первой попытки равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{1}{10}$

Событие B: нужный номер набран со второй попытки.
Это составное событие, которое означает, что первая попытка была неудачной, а вторая — удачной. Предполагается, что абонент не набирает одну и ту же цифру дважды.

1. Вероятность того, что первая попытка будет неудачной, составляет $\frac{9}{10}$, так как существует 9 неправильных цифр из 10.

2. После первой неудачной попытки остается 9 непроверенных цифр, среди которых одна — правильная. Следовательно, вероятность угадать правильную цифру со второй попытки (при условии, что первая была неудачной) равна $\frac{1}{9}$.

Вероятность события B (первая попытка неудачная И вторая удачная) вычисляется как произведение вероятностей этих последовательных событий: $P(B) = P(\text{неудача в 1-й}) \times P(\text{удача во 2-й | неудача в 1-й}) = \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$

Сравнивая вероятности, мы видим, что $P(A) = P(B) = \frac{1}{10}$.

Ответ: Вероятность набрать нужный номер с первой попытки и со второй попытки одинакова.

767 В коробке 100 шаров белого и чёрного цветов. Из неё 60 раз вынимали шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько предположительно белых шаров в коробке?

Для того чтобы оценить количество белых шаров в коробке, мы можем использовать данные эксперимента. В эксперименте 60 раз вынимали шар, и в 18 из этих случаев шар оказывался белым. Это позволяет нам найти относительную частоту появления белого шара, которая будет служить оценкой его вероятности.

1. Найдем относительную частоту (статистическую вероятность) появления белого шара.

Относительная частота события вычисляется как отношение числа наступления этого события к общему числу испытаний.

Общее число испытаний (сколько раз вынимали шар): $N = 60$.

Число появлений белого шара: $m = 18$.

Относительная частота появления белого шара:

$W = \frac{m}{N} = \frac{18}{60}$

Сократим полученную дробь:

$W = \frac{18 \div 6}{60 \div 6} = \frac{3}{10} = 0.3$

2. Оценим количество белых шаров в коробке.

Относительная частота $W$ является оценкой теоретической вероятности вытащить белый шар. Теоретическая вероятность, в свою очередь, равна отношению количества белых шаров к общему количеству шаров в коробке.

Пусть $k$ — искомое количество белых шаров.

Всего шаров в коробке: 100.

Вероятность вытащить белый шар равна $P = \frac{k}{100}$.

Приравнивая статистическую вероятность (относительную частоту) к теоретической, получаем пропорцию:

$\frac{k}{100} \approx \frac{18}{60}$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:

$k = 100 \times \frac{18}{60}$

$k = 100 \times \frac{3}{10}$

$k = 10 \times 3$

$k = 30$

Следовательно, можно предположить, что в коробке находится 30 белых шаров.

Ответ: 30

768 В Москве около 12 млн жителей. У скольких жителей Москвы день рождения может приходиться на 1 января?

Для ответа на этот вопрос необходимо сделать предположение, что дни рождения распределены равномерно в течение всего года. Это означает, что вероятность родиться в любой конкретный день года одинакова для всех жителей.

Решение:

1. Определение исходных данных.
- Общее число жителей в Москве составляет около 12 миллионов, то есть $N = 12\,000\,000$ человек.
- Количество дней в году. В обычном году 365 дней, в високосном — 366. Так как в условии задачи дано приблизительное число жителей, для расчета достаточно использовать стандартное количество дней в году: $D = 365$.

2. Расчет ожидаемого количества.
Чтобы найти, сколько в среднем людей родилось 1 января, нужно общее число жителей разделить на количество дней в году.
$N_{1\text{ января}} = \frac{\text{Общее число жителей}}{\text{Количество дней в году}}$
Подставим числовые значения в формулу:
$N_{1\text{ января}} = \frac{12\,000\,000}{365}$

3. Вычисление и округление.
$12\,000\,000 \div 365 \approx 32876,71$
Поскольку количество людей является целым числом, а сам расчет — оценочным, полученное значение следует округлить. Округляя до ближайшего целого, получаем $32\,877$. Учитывая, что исходная численность населения указана как "около 12 млн", разумно округлить результат до тысяч, чтобы отразить его приблизительный характер.

Ответ: около 33 000 жителей.

769 Из озера выловили 64 рыбы, всех их пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов — на этот раз поймали 50 рыб, среди которых оказалась одна помеченная. Какова вероятная численность рыб в озере? Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

Какова вероятная численность рыб в озере?

Для оценки общей численности рыб в озере используется метод, основанный на предположении, что доля помеченных рыб во второй выборке пропорциональна доле помеченных рыб во всей популяции озера.

Введем обозначения:

• $N$ — общая (неизвестная) численность рыб в озере.
• $M$ — количество изначально пойманных и помеченных рыб. По условию, $M = 64$.
• $n$ — количество рыб в повторном улове. По условию, $n = 50$.
• $k$ — количество помеченных рыб, обнаруженных в повторном улове. По условию, $k = 1$.

Составим пропорцию, связывающую эти величины:

$\frac{\text{Помеченные рыбы во втором улове}}{\text{Всего рыб во втором улове}} = \frac{\text{Всего помеченных рыб в озере}}{\text{Всего рыб в озере}}$

В математическом виде:

$\frac{k}{n} = \frac{M}{N}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{50} = \frac{64}{N}$

Чтобы найти $N$, решим это уравнение:

$1 \cdot N = 50 \cdot 64$

$N = 3200$

Таким образом, наиболее вероятная численность рыб в озере — 3200.

Ответ: Вероятная численность рыб в озере составляет 3200.

Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

В этом гипотетическом случае все условия остаются прежними, за исключением количества обнаруженных помеченных рыб, которое теперь равно $k = 0$.

Если мы попытаемся применить ту же самую формулу, мы получим следующее:

$\frac{0}{50} = \frac{64}{N}$

$0 = \frac{64}{N}$

Данное уравнение не имеет математического решения, поскольку дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а в нашем случае числитель равен 64.

С практической точки зрения это означает, что 64 помеченные рыбы настолько "растворились" в общей популяции, что при отлове 50 рыб ни одна из них не попалась. Это является сильным указанием на то, что общая численность рыб в озере очень велика. Чем меньше помеченных рыб в повторном улове, тем больше предполагаемая общая численность. Отсутствие помеченных рыб говорит о том, что популяция, вероятно, значительно превышает 3200 особей. Дать точную численную оценку в такой ситуации с помощью данного метода невозможно.

Ответ: Если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной, это указывало бы на то, что общая численность рыб в озере очень велика, и дать точную оценку численности этим методом было бы невозможно.

770 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Кубик бросают три раза. Каково наиболее вероятное значение суммы выпавших очков?

Для решения этой задачи нам необходимо найти значение суммы очков, которое может выпасть при трёх бросках игрального кубика с наибольшей вероятностью. Наибольшая вероятность соответствует наибольшему числу способов, которыми можно получить данную сумму.

При каждом броске кубика может выпасть число очков от 1 до 6. Обозначим результаты трёх бросков как $X_1$, $X_2$ и $X_3$. Каждый из этих результатов является случайной величиной, принимающей значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Мы ищем наиболее вероятное значение суммы $S = X_1 + X_2 + X_3$.

Минимально возможная сумма очков: $1 + 1 + 1 = 3$.
Максимально возможная сумма очков: $6 + 6 + 6 = 18$.
Таким образом, сумма очков может принимать любое целое значение от 3 до 18.

Наиболее вероятное значение суммы (или мода распределения) для суммы нескольких независимых одинаково распределённых случайных величин, как правило, находится вблизи математического ожидания (среднего значения) этой суммы.

Математическое ожидание для одного броска кубика равно:
$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Математическое ожидание для суммы трёх бросков равно сумме математических ожиданий для каждого броска:
$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$

Распределение сумм очков при бросании кубиков является симметричным относительно своего математического ожидания. В данном случае, центр симметрии — 10.5. Это означает, что вероятность получить сумму $k$ равна вероятности получить сумму $21-k$ (так как $10.5 = (k + (21-k))/2$). Наибольшие вероятности будут у целых чисел, ближайших к центру симметрии 10.5. Такими числами являются 10 и 11. Из-за симметрии, вероятности получить сумму 10 и сумму 11 должны быть одинаковы.

Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем количество комбинаций, дающих в сумме 10 и 11. Общее количество всех возможных исходов при трёх бросках равно $6 \times 6 \times 6 = 216$.

Количество комбинаций для суммы 10:
Нужно найти все тройки чисел $(x_1, x_2, x_3)$ где $x_i \in \{1,...,6\}$, такие что $x_1+x_2+x_3=10$.

• {1, 3, 6}: 3! = 6 перестановок (1,3,6; 1,6,3; 3,1,6; 3,6,1; 6,1,3; 6,3,1)
• {1, 4, 5}: 3! = 6 перестановок
• {2, 2, 6}: 3!/2! = 3 перестановки (2,2,6; 2,6,2; 6,2,2)
• {2, 3, 5}: 3! = 6 перестановок
• {2, 4, 4}: 3!/2! = 3 перестановки
• {3, 3, 4}: 3!/2! = 3 перестановки

Всего способов получить сумму 10: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Количество комбинаций для суммы 11:
Нужно найти все тройки чисел $(x_1, x_2, x_3)$ где $x_i \in \{1,...,6\}$, такие что $x_1+x_2+x_3=11$.

• {1, 4, 6}: 3! = 6 перестановок
• {1, 5, 5}: 3!/2! = 3 перестановки
• {2, 3, 6}: 3! = 6 перестановок
• {2, 4, 5}: 3! = 6 перестановок
• {3, 3, 5}: 3!/2! = 3 перестановки
• {3, 4, 4}: 3!/2! = 3 перестановки

Всего способов получить сумму 11: $6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Для сравнения, посчитаем количество комбинаций для соседних значений, например, 9 и 12.

• Для суммы 9: {1,2,6}, {1,3,5}, {1,4,4}, {2,2,5}, {2,3,4}, {3,3,3}. Число способов: $6+6+3+3+6+1=25$.
• Для суммы 12: {1,5,6}, {2,4,6}, {2,5,5}, {3,3,6}, {3,4,5}, {4,4,4}. Число способов: $6+6+3+3+6+1=25$.

Как мы видим, максимальное количество комбинаций (27) достигается для сумм 10 и 11. Следовательно, эти два значения суммы являются наиболее вероятными.

Ответ: Наиболее вероятными значениями суммы выпавших очков являются 10 и 11.