Номер 756, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 756, страница 308.

756 АНАЛИЗИРУЕМ

Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см.

Есть две группы призывников, рост которых равен:

первая группа — 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см;

вторая группа — 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.

Сколько призывников из каждой группы подходит для службы в Президентском полку? Сравните эти группы, вычислив для каждой стандартное отклонение.

В задаче требуется сначала определить количество призывников из каждой группы, подходящих по росту для службы в Президентском полку, а затем сравнить эти группы, вычислив стандартное отклонение.

1. Отбор призывников по росту.

Условие отбора: рост призывника должен быть не менее 175 см и не более 190 см. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $175 \le рост \le 190$.

первая группа

Состав группы по росту: 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см.
Проверим соответствие каждого призывника условию:

• 165 см: не подходит, так как $165 < 175$.
• 170 см: не подходит, так как $170 < 175$.
• 173 см: не подходит, так как $173 < 175$.
• 182 см: подходит, так как $175 \le 182 \le 190$.
• 195 см: не подходит, так как $195 > 190$.

Таким образом, из первой группы подходит только один призывник.

вторая группа

Состав группы по росту: 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.
Проверим соответствие каждого призывника условию:

• 166 см: не подходит, так как $166 < 175$.
• 175 см: подходит, так как $175 \le 175 \le 190$.
• 175 см: подходит, так как $175 \le 175 \le 190$.
• 176 см: подходит, так как $175 \le 176 \le 190$.
• 178 см: подходит, так как $175 \le 178 \le 190$.

Таким образом, из второй группы подходят четыре призывника.

Ответ: Из первой группы для службы в Президентском полку подходит 1 призывник, а из второй группы — 4 призывника.

2. Вычисление стандартного отклонения и сравнение групп.

Стандартное отклонение ($\sigma$) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Формула для вычисления стандартного отклонения:$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$где $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение, $x_i$ — каждый элемент выборки, $n$ — количество элементов в выборке.

первая группа

Данные: {165, 170, 173, 182, 195}.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}_1$):
   $\bar{x}_1 = \frac{165 + 170 + 173 + 182 + 195}{5} = \frac{885}{5} = 177$ см.
2. Находим сумму квадратов отклонений от среднего:
   $\sum(x_i - \bar{x}_1)^2 = (165 - 177)^2 + (170 - 177)^2 + (173 - 177)^2 + (182 - 177)^2 + (195 - 177)^2$
   $= (-12)^2 + (-7)^2 + (-4)^2 + 5^2 + 18^2 = 144 + 49 + 16 + 25 + 324 = 558$.
3. Вычисляем дисперсию ($D_1$):
   $D_1 = \frac{558}{5} = 111.6$.
4. Вычисляем стандартное отклонение ($\sigma_1$):
   $\sigma_1 = \sqrt{111.6} \approx 10.56$ см.

вторая группа

Данные: {166, 175, 175, 176, 178}.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
   $\bar{x}_2 = \frac{166 + 175 + 175 + 176 + 178}{5} = \frac{870}{5} = 174$ см.
2. Находим сумму квадратов отклонений от среднего:
   $\sum(x_i - \bar{x}_2)^2 = (166 - 174)^2 + (175 - 174)^2 + (175 - 174)^2 + (176 - 174)^2 + (178 - 174)^2$
   $= (-8)^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 4^2 = 64 + 1 + 1 + 4 + 16 = 86$.
3. Вычисляем дисперсию ($D_2$):
   $D_2 = \frac{86}{5} = 17.2$.
4. Вычисляем стандартное отклонение ($\sigma_2$):
   $\sigma_2 = \sqrt{17.2} \approx 4.15$ см.

Сравнение групп: Стандартное отклонение первой группы ($\sigma_1 \approx 10.56$ см) более чем в два раза превышает стандартное отклонение второй группы ($\sigma_2 \approx 4.15$ см). Это указывает на то, что рост призывников во второй группе более стабилен и сгруппирован вокруг среднего значения, в то время как в первой группе наблюдается значительно больший разброс значений роста.

Ответ: Стандартное отклонение для первой группы составляет $\sigma_1 \approx 10.56$ см, для второй группы — $\sigma_2 \approx 4.15$ см. Вторая группа является более однородной по росту, так как её стандартное отклонение меньше.