Номер 760, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 760, страница 309.

760 Исследуем

1) Дан ряд чисел: $x_1, x_2, ..., x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$. Каждое число ряда увеличили в 10 раз. Как изменится его среднее арифметическое? Что произойдёт с размахом? с дисперсией? со стандартным отклонением?

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то...»

3) Ответьте на вопрос задачи, используя утверждения из пункта 2:

Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; ..., а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; ... . Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 16 и 4. Какие результаты получила Оля?

1)

Пусть исходный ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$.

Среднее арифметическое исходного ряда: $a = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.
После увеличения каждого числа в 10 раз, получим новый ряд: $10x_1, 10x_2, ..., 10x_n$.
Новое среднее арифметическое: $a_{new} = \frac{10x_1 + 10x_2 + ... + 10x_n}{n} = \frac{10(x_1 + x_2 + ... + x_n)}{n} = 10 \cdot a$.
Таким образом, среднее арифметическое увеличится в 10 раз.

Размах ряда – это разность между максимальным и минимальным значениями. Пусть $x_{max}$ и $x_{min}$ – максимальное и минимальное значения исходного ряда. Размах $R = x_{max} - x_{min}$.
В новом ряду максимальным значением будет $10x_{max}$, а минимальным – $10x_{min}$.
Новый размах: $R_{new} = 10x_{max} - 10x_{min} = 10(x_{max} - x_{min}) = 10R$.
Размах ряда увеличится в 10 раз.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений от среднего значения: $D = \frac{(x_1-a)^2 + (x_2-a)^2 + ... + (x_n-a)^2}{n}$.
Для нового ряда чисел и нового среднего значения $10a$ дисперсия будет:
$D_{new} = \frac{(10x_1-10a)^2 + (10x_2-10a)^2 + ... + (10x_n-10a)^2}{n} = \frac{10^2(x_1-a)^2 + 10^2(x_2-a)^2 + ... + 10^2(x_n-a)^2}{n}$
$D_{new} = \frac{100 \cdot ((x_1-a)^2 + (x_2-a)^2 + ... + (x_n-a)^2)}{n} = 100 \cdot D$.
Дисперсия увеличится в $10^2 = 100$ раз.

Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D}$.
Новое стандартное отклонение: $\sigma_{new} = \sqrt{D_{new}} = \sqrt{100D} = 10\sqrt{D} = 10\sigma$.
Стандартное отклонение увеличится в 10 раз.

Ответ: Среднее арифметическое, размах и стандартное отклонение увеличатся в 10 раз, а дисперсия увеличится в 100 раз.

2)

«Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то ...»

Проводя аналогичные рассуждения, как в пункте 1, заменяя множитель 10 на $k$, получаем:

• новое среднее арифметическое будет равно $k \cdot a$;
• новый размах будет равен $|k| \cdot R$;
• новая дисперсия будет равна $k^2 \cdot D$;
• новое стандартное отклонение будет равно $|k| \cdot \sigma$.

Ответ: ...его среднее арифметическое умножится на $k$, размах и стандартное отклонение умножатся на $|k|$, а дисперсия умножится на $k^2$.

3)

Коля записывал рост в сантиметрах, а Оля — в метрах. Поскольку 1 м = 100 см, каждое число в ряду Оли в 100 раз меньше соответствующего числа в ряду Коли. Это эквивалентно умножению каждого числа из ряда Коли на коэффициент $k = \frac{1}{100} = 0.01$.

У Коли получились следующие результаты:

• Средний рост (среднее арифметическое): $a_К = 172$ см
• Дисперсия: $D_К = 16$ см$^2$
• Стандартное отклонение: $\sigma_К = 4$ см

Используя правило из пункта 2, найдем результаты Оли:

Средний рост Оли: $a_О = a_К \cdot k = 172 \cdot 0.01 = 1.72$ м.
Дисперсия Оли: $D_О = D_К \cdot k^2 = 16 \cdot (0.01)^2 = 16 \cdot 0.0001 = 0.0016$ м$^2$.
Стандартное отклонение Оли: $\sigma_О = \sigma_К \cdot |k| = 4 \cdot |0.01| = 0.04$ м.

Ответ: Оля получила средний рост 1,72 м, дисперсию 0,0016 м$^2$ и стандартное отклонение 0,04 м.