Страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 По какому правилу образуется последовательность чисел Фибоначчи?

Запишите это правило с помощью рекуррентной формулы.

1 Последовательность чисел Фибоначчи образуется по следующему правилу: первые два числа последовательности — это 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

Пример построения первых членов последовательности:
Нулевой член: $F_0 = 0$
Первый член: $F_1 = 1$
Второй член: $F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$
Третий член: $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
Четвертый член: $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
Пятый член: $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, получается ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Данное правило записывается с помощью рекуррентной формулы. Рекуррентная формула — это формула, которая выражает член последовательности через предыдущие члены. Для чисел Фибоначчи ($F_n$) она имеет вид:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

Эта формула верна для $n \ge 2$. Для полного задания последовательности необходимо также определить её первые два члена, которые называются базовыми (или начальными) условиями рекурсии:

$F_0 = 0$
$F_1 = 1$

Ответ: Правило образования последовательности чисел Фибоначчи заключается в том, что каждое последующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Это правило выражается рекуррентной формулой $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ при начальных условиях $F_0 = 0$ и $F_1 = 1$.

2 Выпишите несколько первых членов последовательности:

Запишите для каждой из этих последовательностей формулу $n$-го члена.

четных чисел

Последовательность четных натуральных чисел состоит из чисел 2, 4, 6, 8, 10 и так далее. Каждый член этой последовательности, стоящий на $n$-ом месте (где $n$ — натуральное число), можно вычислить, умножив его порядковый номер $n$ на 2. Таким образом, формула $n$-го члена, который мы обозначим $a_n$, имеет вид: $a_n = 2n$.

Ответ: 2, 4, 6, 8, ...; формула $n$-го члена: $a_n = 2n$.

квадратов натуральных чисел

Последовательность квадратов натуральных чисел образуется путем возведения в квадрат каждого натурального числа (1, 2, 3, ...). Первые члены последовательности: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, ... $n$-й член этой последовательности, который мы обозначим $b_n$, равен квадрату его номера $n$. Формула $n$-го члена: $b_n = n^2$.

Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, ...; формула $n$-го члена: $b_n = n^2$.

натуральных чисел, кратных 5

Последовательность натуральных чисел, кратных 5, состоит из чисел, которые делятся на 5 без остатка. Первые члены: 5, 10, 15, 20, 25, ... $n$-й член этой последовательности, $c_n$, можно найти, умножив его порядковый номер $n$ на 5. Формула $n$-го члена: $c_n = 5n$.

Ответ: 5, 10, 15, 20, 25, ...; формула $n$-го члена: $c_n = 5n$.

правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя

В этой последовательности каждый член — это правильная дробь (числитель меньше знаменателя), у которой знаменатель на единицу больше числителя. Поставим в соответствие $n$-му члену последовательности дробь, числитель которой равен $n$. Тогда знаменатель будет равен $n+1$. Таким образом, формула $n$-го члена, $d_n$, имеет вид: $d_n = \frac{n}{n+1}$. Первые члены последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$; формула $n$-го члена: $d_n = \frac{n}{n+1}$.

3 Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приведите пример какой-нибудь арифметической прогрессии и укажите её разность.

Дайте определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное для данной последовательности число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой $d$.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии).

Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия.

Рекуррентная формула выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены. Для арифметической прогрессии, чтобы найти член с номером $n+1$, нужно к члену с номером $n$ прибавить разность прогрессии $d$. Эта зависимость и является рекуррентной формулой.

Ответ: $a_{n+1} = a_n + d$.

Приведите пример какой-нибудь арифметической прогрессии и укажите её разность.

Рассмотрим последовательность чисел: 5, 8, 11, 14, 17, ...

Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна. Чтобы найти разность прогрессии $d$, нужно из любого ее члена, начиная со второго, вычесть предыдущий.

$d = a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3$

$d = a_3 - a_2 = 11 - 8 = 3$

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна 3.

Ответ: Пример арифметической прогрессии: 5, 8, 11, 14, ...; её разность $d = 3$.

4 Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член арифметической прогрессии 2; 5; 8; . . .

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$).
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии ($a_n$) выглядит следующим образом:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Здесь $a_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, $n$ – номер искомого члена.
Ответ: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдите 100-й член арифметической прогрессии 2; 5; 8; ... .
Чтобы найти 100-й член данной прогрессии, сначала определим ее основные параметры: первый член ($a_1$) и разность ($d$).
1. Первый член прогрессии задан: $a_1 = 2$.
2. Разность прогрессии $d$ – это постоянная разница между соседними членами. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = 5 - 2 = 3$.
Для проверки можно вычесть из третьего члена второй: $8 - 5 = 3$. Разность постоянна.
3. Нам нужно найти 100-й член, значит $n = 100$.
4. Теперь подставим все известные значения в формулу n-го члена:
$a_{100} = a_1 + (100 - 1)d$
$a_{100} = 2 + (99) \cdot 3$
$a_{100} = 2 + 297$
$a_{100} = 299$
Таким образом, 100-й член данной арифметической прогрессии равен 299.
Ответ: 299.

5 Расскажите, как найти «методом Гаусса» сумму первых ста натуральных чисел.

«Метод Гаусса» для нахождения суммы первых ста натуральных чисел — это элегантный приём, который позволяет избежать длительного последовательного сложения. Суть метода заключается в особой парной группировке слагаемых.

Сначала запишем искомую сумму, которую нужно найти, обозначив её буквой $S$:
$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$

Затем запишем эту же сумму ещё раз, но в обратном порядке слагаемых. Величина суммы от этого, очевидно, не изменится:
$S = 100 + 99 + 98 + \dots + 3 + 2 + 1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Левая часть уравнения будет равна $S + S = 2S$. В правой части будем складывать числа, стоящие друг под другом в обоих рядах:
$2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \dots + (99 + 2) + (100 + 1)$

Легко заметить, что сумма каждой пары чисел в скобках одинакова и равна 101. Поскольку мы изначально суммировали 100 чисел, у нас получилось ровно 100 таких пар. Таким образом, удвоенная сумма $2S$ представляет собой сумму 100 одинаковых слагаемых, равных 101.
$2S = 101 \times 100 = 10100$

Чтобы найти исходную сумму $S$, осталось лишь разделить полученный результат на 2:
$S = \frac{10100}{2} = 5050$

Этот метод является наглядной демонстрацией общей формулы для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Ответ: 5050

6 Выведите формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Выразите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии через $a_1$, $d$ и $n$.

Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ как $S_n$. Первый член прогрессии — $a_1$, последний — $a_n$, разность — $d$.

Запишем сумму $S_n$ в прямом порядке:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n$

Теперь запишем ту же сумму в обратном порядке:

$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1$

Сложим эти два равенства почленно. В левой части получим $2S_n$. В правой части сгруппируем слагаемые попарно:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \dots + (a_n + a_1)$

Согласно свойству арифметической прогрессии, сумма членов, равноудаленных от ее концов, есть величина постоянная и равная сумме крайних членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.

В правой части равенства находится ровно $n$ таких пар, каждая из которых равна $(a_1 + a_n)$. Таким образом, мы можем переписать сумму как:

$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Разделив обе части на 2, получим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Выражение суммы первых n членов арифметической прогрессии через a₁, d и n

Чтобы выразить сумму только через первый член $a_1$, разность $d$ и количество членов $n$, воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим это выражение для $a_n$ в выведенную ранее формулу суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$

Теперь упростим выражение в числителе дроби:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Это и есть искомая формула, выражающая сумму через $a_1$, $d$ и $n$.

Ответ: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

7 Дайте определение геометрической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задаётся геометрическая прогрессия. Приведите пример какой-нибудь геометрической прогрессии и назовите её знаменатель.

Дайте определение геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой $q$.

Таким образом, для всех членов последовательности $(b_n)$, начиная со второго, выполняется равенство: $b_2 = b_1 \cdot q$, $b_3 = b_2 \cdot q$, и так далее.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число (знаменатель).

Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задаётся геометрическая прогрессия

Рекуррентная формула выражает любой член последовательности через предыдущие члены. Для геометрической прогрессии эта формула напрямую следует из её определения. Она позволяет найти любой член прогрессии, зная предыдущий член и знаменатель.

Рекуррентная формула имеет вид: $b_{n+1} = b_n \cdot q$

Здесь $b_n$ — это $n$-й член прогрессии, $b_{n+1}$ — $(n+1)$-й (следующий) член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Для того чтобы полностью задать последовательность с помощью этой формулы, необходимо также указать значение первого члена $b_1$.

Ответ: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Приведите пример какой-нибудь геометрической прогрессии и назовите её знаменатель

Рассмотрим следующую числовую последовательность: 4, 12, 36, 108, ...

Это пример геометрической прогрессии. Её первый член $b_1 = 4$.

Чтобы найти знаменатель $q$, нужно разделить любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий:

$q = \frac{12}{4} = 3$

Проверим для следующей пары членов:

$q = \frac{36}{12} = 3$

Знаменатель постоянен и равен 3.

Ответ: Пример геометрической прогрессии: 4, 12, 36, 108, ... Её знаменатель $q=3$.

8 Запишите формулу $n$-го члена геометрической прогрессии. Найдите 8-й член геометрической прогрессии $6$; $3$; $\frac{3}{2}$; $\dots$ .

Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) выглядит следующим образом:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
где:
$b_1$ — первый член прогрессии,
$q$ — знаменатель прогрессии,
$n$ — порядковый номер члена прогрессии.
Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Найдите 8-й член геометрической прогрессии 6; 3; $\frac{3}{2}$; ... .
Для решения этой задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии.
1. Определим первый член прогрессии ($b_1$). Из условия видно, что $b_1 = 6$.
2. Найдем знаменатель прогрессии ($q$). Для этого разделим второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
3. Нам нужно найти 8-й член прогрессии, следовательно, $n = 8$.
4. Подставим найденные значения в формулу:
$b_8 = b_1 \cdot q^{n-1} = 6 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = 6 \cdot (\frac{1}{2})^7$
5. Вычислим значение:
$(\frac{1}{2})^7 = \frac{1^7}{2^7} = \frac{1}{128}$
$b_8 = 6 \cdot \frac{1}{128} = \frac{6}{128}$
6. Сократим полученную дробь:
$\frac{6}{128} = \frac{6 \div 2}{128 \div 2} = \frac{3}{64}$
Таким образом, 8-й член данной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{64}$.
Ответ: $\frac{3}{64}$

9 Выведите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумму первых $n$ членов этой прогрессии обозначим как $S_n$.

По определению, $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$.

Запишем эту сумму, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$ (1)

Дальнейший вывод зависит от значения знаменателя $q$.

Рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q = 1$. Тогда все её члены равны первому члену $b_1$. В этом случае сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых:

$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$.

Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q \neq 1$. Для вывода формулы умножим обе части равенства (1) на $q$:

$S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) \cdot q$

$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$ (2)

Теперь вычтем из равенства (2) исходное равенство (1):

$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

После раскрытия скобок все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Поскольку $q \neq 1$, то $q - 1 \neq 0$. Разделив обе части на $(q - 1)$, получим искомую формулу:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Ответ: Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ зависит от значения $q$.
При $q = 1$ сумма равна $S_n = n \cdot b_1$.
При $q \neq 1$ сумма равна $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1 Выпишите первые шесть членов последовательности $(r_n)$, если $r_1 = 3$,

$r_{n+1} = r_n - 2.$

По условию задачи нам дана последовательность $(r_n)$, определенная рекуррентной формулой. Это означает, что каждый следующий член последовательности можно найти, зная предыдущий.

Первый член последовательности задан: $r_1 = 3$.

Формула для нахождения $(n+1)$-го члена через $n$-й член: $r_{n+1} = r_n - 2$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна -2.

Вычислим последовательно первые шесть членов:

Для $n=1$: $r_2 = r_1 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Для $n=2$: $r_3 = r_2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Для $n=3$: $r_4 = r_3 - 2 = -1 - 2 = -3$.

Для $n=4$: $r_5 = r_4 - 2 = -3 - 2 = -5$.

Для $n=5$: $r_6 = r_5 - 2 = -5 - 2 = -7$.

Таким образом, мы нашли первые шесть членов последовательности.

Ответ: $3, 1, -1, -3, -5, -7$.

2 Последовательность задана формулой $n$-го члена $a_n = \frac{1}{n^2}$. Найдите $a_5$; $a_{10}$; $a_{12}$. Найдите $(k+1)$-й член этой последовательности.

Для решения задачи используется формула $n$-го члена последовательности $a_n = \frac{1}{n^2}$.

$a_5$

Чтобы найти пятый член последовательности, необходимо подставить в формулу значение $n=5$:

$a_5 = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

$a_{10}$

Чтобы найти десятый член последовательности, необходимо подставить в формулу значение $n=10$:

$a_{10} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$

Ответ: $\frac{1}{100}$

$a_{12}$

Чтобы найти двенадцатый член последовательности, необходимо подставить в формулу значение $n=12$:

$a_{12} = \frac{1}{12^2} = \frac{1}{144}$

Ответ: $\frac{1}{144}$

$(k+1)$-й член этой последовательности

Чтобы найти $(k+1)$-й член последовательности, необходимо подставить в общую формулу вместо $n$ выражение $k+1$:

$a_{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2}$

Ответ: $\frac{1}{(k+1)^2}$