Номер 9, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 9, страница 285.

9 Выведите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумму первых $n$ членов этой прогрессии обозначим как $S_n$.

По определению, $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$.

Запишем эту сумму, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$ (1)

Дальнейший вывод зависит от значения знаменателя $q$.

Рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q = 1$. Тогда все её члены равны первому члену $b_1$. В этом случае сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых:

$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$.

Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q \neq 1$. Для вывода формулы умножим обе части равенства (1) на $q$:

$S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) \cdot q$

$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$ (2)

Теперь вычтем из равенства (2) исходное равенство (1):

$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

После раскрытия скобок все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Поскольку $q \neq 1$, то $q - 1 \neq 0$. Разделив обе части на $(q - 1)$, получим искомую формулу:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Ответ: Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ зависит от значения $q$.
При $q = 1$ сумма равна $S_n = n \cdot b_1$.
При $q \neq 1$ сумма равна $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.