Номер 3, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 3, страница 286.

3 Определите закономерность, по которой строится последовательность, и запишите три следующих члена:

$2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Запишите формулу $n$-го члена последовательности.

Определите закономерность, по которой строится последовательность, и запишите три следующих члена:

Рассмотрим данную последовательность: $2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Для того чтобы найти закономерность, представим каждый член последовательности в виде дроби. Первый член $2$ можно записать как $\frac{2}{1}$. Тогда вся последовательность будет выглядеть так:

$\frac{2}{1}; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Обозначим член последовательности как $a_n$, где $n$ — его порядковый номер.
$a_1 = \frac{2}{1}$
$a_2 = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{4}{3}$
и так далее.

Можно заметить, что для каждого члена $a_n$ его знаменатель равен его номеру $n$, а числитель на единицу больше знаменателя, то есть равен $n+1$.

Следуя этой закономерности, найдем три следующих члена последовательности после $a_5=\frac{6}{5}$. Это будут члены с номерами $n=6, n=7$ и $n=8$.

Шестой член: $a_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

Седьмой член: $a_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$

Восьмой член: $a_8 = \frac{8+1}{8} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \frac{9}{8}.$

Запишите формулу n-го члена последовательности.

Как было установлено ранее, для любого члена последовательности $a_n$ с номером $n$ его числитель равен $n+1$, а знаменатель равен $n$.

Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = \frac{n+1}{n}$

Ответ: $a_n = \frac{n+1}{n}.$