Номер 5, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 5, страница 285.

5 Расскажите, как найти «методом Гаусса» сумму первых ста натуральных чисел.

«Метод Гаусса» для нахождения суммы первых ста натуральных чисел — это элегантный приём, который позволяет избежать длительного последовательного сложения. Суть метода заключается в особой парной группировке слагаемых.

Сначала запишем искомую сумму, которую нужно найти, обозначив её буквой $S$:
$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$

Затем запишем эту же сумму ещё раз, но в обратном порядке слагаемых. Величина суммы от этого, очевидно, не изменится:
$S = 100 + 99 + 98 + \dots + 3 + 2 + 1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Левая часть уравнения будет равна $S + S = 2S$. В правой части будем складывать числа, стоящие друг под другом в обоих рядах:
$2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \dots + (99 + 2) + (100 + 1)$

Легко заметить, что сумма каждой пары чисел в скобках одинакова и равна 101. Поскольку мы изначально суммировали 100 чисел, у нас получилось ровно 100 таких пар. Таким образом, удвоенная сумма $2S$ представляет собой сумму 100 одинаковых слагаемых, равных 101.
$2S = 101 \times 100 = 10100$

Чтобы найти исходную сумму $S$, осталось лишь разделить полученный результат на 2:
$S = \frac{10100}{2} = 5050$

Этот метод является наглядной демонстрацией общей формулы для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Ответ: 5050