Номер 6, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 6, страница 285.

6 Выведите формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Выразите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии через $a_1$, $d$ и $n$.

Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ как $S_n$. Первый член прогрессии — $a_1$, последний — $a_n$, разность — $d$.

Запишем сумму $S_n$ в прямом порядке:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n$

Теперь запишем ту же сумму в обратном порядке:

$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1$

Сложим эти два равенства почленно. В левой части получим $2S_n$. В правой части сгруппируем слагаемые попарно:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \dots + (a_n + a_1)$

Согласно свойству арифметической прогрессии, сумма членов, равноудаленных от ее концов, есть величина постоянная и равная сумме крайних членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.

В правой части равенства находится ровно $n$ таких пар, каждая из которых равна $(a_1 + a_n)$. Таким образом, мы можем переписать сумму как:

$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Разделив обе части на 2, получим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Выражение суммы первых n членов арифметической прогрессии через a₁, d и n

Чтобы выразить сумму только через первый член $a_1$, разность $d$ и количество членов $n$, воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим это выражение для $a_n$ в выведенную ранее формулу суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$

Теперь упростим выражение в числителе дроби:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Это и есть искомая формула, выражающая сумму через $a_1$, $d$ и $n$.

Ответ: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.