Страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Определите закономерность, по которой строится последовательность, и запишите три следующих члена:

$2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Запишите формулу $n$-го члена последовательности.

Определите закономерность, по которой строится последовательность, и запишите три следующих члена:

Рассмотрим данную последовательность: $2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Для того чтобы найти закономерность, представим каждый член последовательности в виде дроби. Первый член $2$ можно записать как $\frac{2}{1}$. Тогда вся последовательность будет выглядеть так:

$\frac{2}{1}; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$

Обозначим член последовательности как $a_n$, где $n$ — его порядковый номер.
$a_1 = \frac{2}{1}$
$a_2 = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{4}{3}$
и так далее.

Можно заметить, что для каждого члена $a_n$ его знаменатель равен его номеру $n$, а числитель на единицу больше знаменателя, то есть равен $n+1$.

Следуя этой закономерности, найдем три следующих члена последовательности после $a_5=\frac{6}{5}$. Это будут члены с номерами $n=6, n=7$ и $n=8$.

Шестой член: $a_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

Седьмой член: $a_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$

Восьмой член: $a_8 = \frac{8+1}{8} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \frac{9}{8}.$

Запишите формулу n-го члена последовательности.

Как было установлено ранее, для любого члена последовательности $a_n$ с номером $n$ его числитель равен $n+1$, а знаменатель равен $n$.

Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = \frac{n+1}{n}$

Ответ: $a_n = \frac{n+1}{n}.$

4 Дана арифметическая прогрессия $7.5; 7; 6.5; 6; \dots$. Найдите следующие три члена этой прогрессии. Чему равна разность прогрессии? Найдите 100-й член прогрессии.

Найдите следующие три члена этой прогрессии.

Данная арифметическая прогрессия ($a_n$) начинается с членов: $a_1 = 7,5$; $a_2 = 7$; $a_3 = 6,5$; $a_4 = 6$.
Для того чтобы найти следующие члены, нам необходимо сначала определить разность прогрессии ($d$). Разность — это постоянное число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим ее, вычтя первый член из второго:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,5 = -0,5$.
Теперь мы можем найти следующие три члена, последовательно прибавляя разность $d = -0,5$ к последнему известному члену ($a_4 = 6$):
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 6 + (-0,5) = 5,5$.
Шестой член: $a_6 = a_5 + d = 5,5 + (-0,5) = 5$.
Седьмой член: $a_7 = a_6 + d = 5 + (-0,5) = 4,5$.
Ответ: следующие три члена прогрессии: 5,5; 5; 4,5.

Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии ($d$) вычисляется как разница между любым ее членом и предыдущим. Как было рассчитано в предыдущем пункте:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,5 = -0,5$.
Для проверки можно взять другую пару последовательных членов, например, четвертый и третий:
$d = a_4 - a_3 = 6 - 6,5 = -0,5$.
Значение разности постоянно.
Ответ: разность прогрессии равна -0,5.

Найдите 100-й член прогрессии.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
В нашем случае известны:
- Первый член $a_1 = 7,5$
- Разность прогрессии $d = -0,5$
- Порядковый номер искомого члена $n = 100$
Подставим эти значения в формулу:
$a_{100} = 7,5 + (100-1) \times (-0,5)$
$a_{100} = 7,5 + 99 \times (-0,5)$
$a_{100} = 7,5 - 49,5$
$a_{100} = -42$
Ответ: 100-й член прогрессии равен -42.

5 Какой номер имеет член арифметической прогрессии, равный $180$, если её первый член равен $-20$, а разность равна $2,5$?

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии используется формула n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — искомый номер члена.

В соответствии с условиями задачи, мы имеем:

• $a_n = 180$
• $a_1 = -20$
• $d = 2,5$

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$180 = -20 + (n-1) \cdot 2,5$

Сначала перенесем $-20$ в левую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$180 + 20 = (n-1) \cdot 2,5$

$200 = (n-1) \cdot 2,5$

Теперь разделим обе части уравнения на $2,5$, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{200}{2,5}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10:

$n-1 = \frac{2000}{25}$

$n-1 = 80$

Наконец, найдем $n$, перенеся $-1$ в правую часть:

$n = 80 + 1$

$n = 81$

Следовательно, член арифметической прогрессии, равный 180, имеет номер 81.

Ответ: 81.

6 В арифметической прогрессии $a_1 = 12$, $d = 2,5$. Является ли членом этой прогрессии число 60; число 87?

Для того чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ - n-й член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии, а $n$ - номер члена прогрессии.

По условию задачи имеем: $a_1 = 12$ и $d = 2.5$. Если некоторое число является членом прогрессии, то его номер $n$ должен быть натуральным числом ($n \in N, n \ge 1$).

число 60

Проверим, является ли число 60 членом данной прогрессии. Для этого предположим, что $a_n = 60$, и найдем соответствующий номер $n$.

Подставим известные значения в формулу: $60 = 12 + (n-1) \cdot 2.5$

Выразим $(n-1)$: $60 - 12 = (n-1) \cdot 2.5$

$48 = (n-1) \cdot 2.5$

$n - 1 = \frac{48}{2.5}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10: $n - 1 = \frac{480}{25}$

$n - 1 = 19.2$

Теперь найдем $n$: $n = 19.2 + 1$

$n = 20.2$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число 20.2, то число 60 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.

число 87

Аналогично проверим число 87. Предположим, что $a_n = 87$, и найдем соответствующий номер $n$.

Подставим известные значения в формулу: $87 = 12 + (n-1) \cdot 2.5$

$87 - 12 = (n-1) \cdot 2.5$

$75 = (n-1) \cdot 2.5$

$n - 1 = \frac{75}{2.5}$

$n - 1 = \frac{750}{25}$

$n - 1 = 30$

$n = 30 + 1$

$n = 31$

Поскольку мы получили натуральное число $n = 31$, это означает, что число 87 является 31-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да, является.

7 Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии $-1; -3; -5; ...$

Данная последовательность чисел –1; –3; –5; ... является арифметической прогрессией. Чтобы найти сумму ее первых тридцати членов, нам необходимо знать ее первый член ($a_1$), разность ($d$) и количество членов для суммирования ($n$).

Из условия задачи мы имеем:

• Первый член прогрессии: $a_1 = -1$.
• Количество членов: $n = 30$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$, вычитая из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим в формулу наши значения: $a_1 = -1$, $d = -2$ и $n = 30$. $S_{30} = \frac{2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (30 - 1)}{2} \cdot 30$

Выполним вычисления по шагам: $S_{30} = \frac{-2 + (-2) \cdot 29}{2} \cdot 30$ $S_{30} = \frac{-2 - 58}{2} \cdot 30$ $S_{30} = \frac{-60}{2} \cdot 30$ $S_{30} = -30 \cdot 30$ $S_{30} = -900$

Ответ: -900

8 Турист в первый день прошёл 25 км, а в каждый следующий — на 1,5 км меньше.

а) Сколько километров прошёл турист в пятый день своего путешествия?

б) Какое расстояние прошёл он за неделю?

Расстояния, которые турист проходит каждый день, представляют собой арифметическую прогрессию. В этой прогрессии:

• первый член $a_1$ — это расстояние, пройденное в первый день, т.е. $a_1 = 25$ км;
• разность прогрессии $d$ — это величина, на которую изменяется расстояние каждый день. Так как турист проходил на 1,5 км меньше, то $d = -1.5$ км.

а) Сколько километров прошёл турист в пятый день своего путешествия?

Чтобы найти расстояние, пройденное в пятый день, нужно найти пятый член арифметической прогрессии ($a_5$). Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу значения $n = 5$, $a_1 = 25$ и $d = -1.5$:

$a_5 = 25 + (5-1) \times (-1.5)$

$a_5 = 25 + 4 \times (-1.5)$

$a_5 = 25 - 6$

$a_5 = 19$

Ответ: в пятый день турист прошёл 19 км.

б) Какое расстояние прошёл он за неделю?

Неделя — это 7 дней. Чтобы найти общее расстояние, пройденное за неделю, нужно вычислить сумму первых семи членов арифметической прогрессии ($S_7$). Воспользуемся формулой суммы первых n членов:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$

Подставим в формулу значения $n = 7$, $a_1 = 25$ и $d = -1.5$:

$S_7 = \frac{2 \times 25 + (7-1) \times (-1.5)}{2} \times 7$

$S_7 = \frac{50 + 6 \times (-1.5)}{2} \times 7$

$S_7 = \frac{50 - 9}{2} \times 7$

$S_7 = \frac{41}{2} \times 7$

$S_7 = 20.5 \times 7$

$S_7 = 143.5$

Ответ: за неделю турист прошёл 143,5 км.

9 Дана геометрическая прогрессия $-80; 40; -20; 10; \ldots$.

Запишите следующие три члена этой прогрессии.

Чему равен знаменатель прогрессии?

Найдите десятый член этой прогрессии.

Запишите следующие три члена этой прогрессии.
Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первые члены которой: $b_1 = -80$, $b_2 = 40$, $b_3 = -20$, $b_4 = 10$.
Чтобы найти следующие члены, сначала определим знаменатель прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{-80} = -\frac{1}{2}$
Теперь найдем следующие три члена, умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.
Пятый член прогрессии: $b_5 = b_4 \cdot q = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
Шестой член прогрессии: $b_6 = b_5 \cdot q = -5 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} = 2,5$.
Седьмой член прогрессии: $b_7 = b_6 \cdot q = 2,5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1,25$.
Ответ: –5; 2,5; –1,25.

Чему равен знаменатель прогрессии?
Знаменатель геометрической прогрессии $(q)$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего. Его можно найти, разделив любой член на предыдущий.
Используя первый и второй члены прогрессии: $b_1 = -80$ и $b_2 = 40$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{-80} = -\frac{1}{2}$
Для проверки можно взять второй и третий члены: $b_2 = 40$ и $b_3 = -20$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$
Знаменатель постоянен.
Ответ: знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$ (или –0,5).

Найдите десятый член этой прогрессии.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель, а $n$ — номер искомого члена.
В данной задаче:
$b_1 = -80$
$q = -\frac{1}{2}$
$n = 10$
Подставим эти значения в формулу:
$b_{10} = -80 \cdot (-\frac{1}{2})^{10-1} = -80 \cdot (-\frac{1}{2})^9$
Так как степень нечетная (9), результат возведения отрицательного числа в степень будет отрицательным:
$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$
Теперь вычислим значение $b_{10}$:
$b_{10} = -80 \cdot (-\frac{1}{512}) = \frac{80}{512}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 80 и 512 равен 16.
$b_{10} = \frac{80 \div 16}{512 \div 16} = \frac{5}{32}$
Ответ: $\frac{5}{32}$.

10 В телевизионной игре за верный ответ на первый вопрос ведущего играющему начисляют 500 р., а за каждый следующий верный ответ выигранная им сумма удваивается. Играющий ответил верно на 7 вопросов. Каков его выигрыш?

Данная задача описывает геометрическую прогрессию, где первый член — это выигрыш за первый вопрос, а знаменатель прогрессии — это множитель, на который увеличивается сумма при каждом следующем верном ответе.

Решение:

Обозначим сумму выигрыша после n-го верного ответа как $S_n$.

1. За верный ответ на первый вопрос игрок получает 500 р.
$S_1 = 500$ р.

2. За каждый следующий верный ответ выигранная сумма удваивается.
После второго верного ответа сумма составит: $S_2 = S_1 \cdot 2 = 500 \cdot 2 = 1000$ р.
После третьего верного ответа: $S_3 = S_2 \cdot 2 = 1000 \cdot 2 = 2000$ р.
После четвертого верного ответа: $S_4 = S_3 \cdot 2 = 2000 \cdot 2 = 4000$ р.
После пятого верного ответа: $S_5 = S_4 \cdot 2 = 4000 \cdot 2 = 8000$ р.
После шестого верного ответа: $S_6 = S_5 \cdot 2 = 8000 \cdot 2 = 16000$ р.
После седьмого верного ответа: $S_7 = S_6 \cdot 2 = 16000 \cdot 2 = 32000$ р.

Эту же задачу можно решить с помощью формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где:
$b_1 = 500$ — первый член прогрессии (выигрыш за первый вопрос).
$q = 2$ — знаменатель прогрессии (сумма удваивается).
$n = 7$ — количество верных ответов.

Нам нужно найти $b_7$:
$b_7 = 500 \cdot 2^{7-1} = 500 \cdot 2^6$
$2^6 = 64$
$b_7 = 500 \cdot 64 = 32000$

Таким образом, выигрыш игрока после 7 верных ответов составит 32000 рублей.

Ответ: 32000 р.

11 Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $6; 2; \frac{2}{3}; ...$

Для нахождения суммы первых десяти членов данной геометрической прогрессии необходимо сначала определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из последовательности $6; 2; \frac{2}{3}; \ldots$ мы видим, что первый член $b_1 = 6$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

В нашем случае, нам нужно найти сумму первых десяти членов, поэтому $n=10$. Подставим известные значения ($b_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 10$) в формулу:

$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{1 - \frac{1}{3}}$

Теперь выполним вычисления. Сначала упростим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим это значение в выражение для суммы:

$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{\frac{2}{3}}$

Упростим полученное выражение:

$S_{10} = 6 \cdot (1 - \frac{1}{3^{10}}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}} = 9 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}}$

Так как $9 = 3^2$, мы можем сократить дробь:

$S_{10} = 3^2 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}} = \frac{3^{10} - 1}{3^{10-2}} = \frac{3^{10} - 1}{3^8}$

Осталось вычислить степени тройки:

$3^{10} = 59049$

$3^8 = 6561$

Подставим эти значения в нашу формулу:

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{6561} = \frac{59048}{6561}$

Ответ: $\frac{59048}{6561}$

12 С четверга по воскресенье число посетителей выставки ежедневно увеличивалось в 1,5 раза. Сколько человек посетило выставку за эти дни, если в четверг на выставке было 320 человек?

Для того чтобы найти общее количество посетителей выставки за указанные дни (с четверга по воскресенье), необходимо вычислить количество посетителей для каждого дня, а затем сложить эти значения.

По условию, в четверг на выставке было 320 человек, и каждый следующий день это число увеличивалось в 1,5 раза. Это означает, что мы имеем дело с геометрической прогрессией.

1. Расчет количества посетителей по дням:

Четверг:
Количество посетителей известно: 320 человек.

Пятница:
Умножаем количество посетителей четверга на 1,5:
$320 \times 1,5 = 480$ человек.

Суббота:
Умножаем количество посетителей пятницы на 1,5:
$480 \times 1,5 = 720$ человек.

Воскресенье:
Умножаем количество посетителей субботы на 1,5:
$720 \times 1,5 = 1080$ человек.

2. Расчет общего количества посетителей:

Теперь сложим количество посетителей за все четыре дня, чтобы найти итоговое число:

Общее число = (посетители в четверг) + (посетители в пятницу) + (посетители в субботу) + (посетители в воскресенье)

$320 + 480 + 720 + 1080 = 2600$ человек.

Также можно использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член (320), $q$ — знаменатель (1,5), $n$ — количество дней (4).

$S_4 = 320 \times \frac{1,5^4 - 1}{1,5 - 1} = 320 \times \frac{5,0625 - 1}{0,5} = 320 \times \frac{4,0625}{0,5} = 320 \times 8,125 = 2600$

Ответ: 2600 человек.

13 Квартплата за очередной месяц должна вноситься до определённого числа. В городе N за каждый просроченный день начисляется дополнительно $1\%$ от суммы квартплаты. Сколько придётся заплатить квартиросъёмщику, если его квартплата составляет 800 р. и он просрочил оплату на 12 дней?

Чтобы определить итоговую сумму к оплате, необходимо сначала вычислить размер пени за просрочку, а затем прибавить его к основной сумме квартплаты.

1. Найдем размер пени за один день.
Квартплата составляет 800 рублей. По условию, за каждый день просрочки начисляется 1% от этой суммы. Рассчитаем величину пени за один день:

$800 \text{ р.} \times 1\% = 800 \times \frac{1}{100} = 8 \text{ р.}$

2. Рассчитаем общую сумму пени за весь срок просрочки.
Оплата была просрочена на 12 дней. Чтобы найти общую сумму пени, нужно умножить ежедневную пеню на количество дней просрочки:

$8 \text{ р./день} \times 12 \text{ дней} = 96 \text{ р.}$

3. Вычислим итоговую сумму к оплате.
Итоговая сумма складывается из основной квартплаты и общей суммы пени:

Итоговая сумма = Основная квартплата + Общая сумма пени

$800 \text{ р.} + 96 \text{ р.} = 896 \text{ р.}$

Ответ: 896 р.