Номер 9, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 9, страница 286.

9 Дана геометрическая прогрессия $-80; 40; -20; 10; \ldots$.

Запишите следующие три члена этой прогрессии.

Чему равен знаменатель прогрессии?

Найдите десятый член этой прогрессии.

Запишите следующие три члена этой прогрессии.
Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первые члены которой: $b_1 = -80$, $b_2 = 40$, $b_3 = -20$, $b_4 = 10$.
Чтобы найти следующие члены, сначала определим знаменатель прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{-80} = -\frac{1}{2}$
Теперь найдем следующие три члена, умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.
Пятый член прогрессии: $b_5 = b_4 \cdot q = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
Шестой член прогрессии: $b_6 = b_5 \cdot q = -5 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} = 2,5$.
Седьмой член прогрессии: $b_7 = b_6 \cdot q = 2,5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1,25$.
Ответ: –5; 2,5; –1,25.

Чему равен знаменатель прогрессии?
Знаменатель геометрической прогрессии $(q)$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего. Его можно найти, разделив любой член на предыдущий.
Используя первый и второй члены прогрессии: $b_1 = -80$ и $b_2 = 40$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{-80} = -\frac{1}{2}$
Для проверки можно взять второй и третий члены: $b_2 = 40$ и $b_3 = -20$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$
Знаменатель постоянен.
Ответ: знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$ (или –0,5).

Найдите десятый член этой прогрессии.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель, а $n$ — номер искомого члена.
В данной задаче:
$b_1 = -80$
$q = -\frac{1}{2}$
$n = 10$
Подставим эти значения в формулу:
$b_{10} = -80 \cdot (-\frac{1}{2})^{10-1} = -80 \cdot (-\frac{1}{2})^9$
Так как степень нечетная (9), результат возведения отрицательного числа в степень будет отрицательным:
$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$
Теперь вычислим значение $b_{10}$:
$b_{10} = -80 \cdot (-\frac{1}{512}) = \frac{80}{512}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 80 и 512 равен 16.
$b_{10} = \frac{80 \div 16}{512 \div 16} = \frac{5}{32}$
Ответ: $\frac{5}{32}$.