Страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

712 Найдите с помощью треугольника Паскаля $C_5^2$; $C_7^4$; $C_8^6$; $C_9^0$; $C_3^3$.

Для нахождения значений биномиальных коэффициентов $C_n^k$ (числа сочетаний из $n$ по $k$) используется треугольник Паскаля. В этом треугольнике $n$ соответствует номеру строки, а $k$ — номеру элемента в строке. Нумерация строк и элементов в них начинается с нуля. Значение $C_n^k$ находится в строке с номером $n$ на месте с номером $k$.

Сначала построим треугольник Паскаля до 9-й строки включительно, так как максимальное значение $n$ в задаче равно 9.

Теперь найдем требуемые значения.

$C_5^2$

Для нахождения $C_5^2$ смотрим на строку с $n=5$. Нам нужен элемент с номером $k=2$. Строка для $n=5$ выглядит так: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Элемент с номером 2 (третий по счету) равен 10.

Ответ: 10

$C_7^4$

Для нахождения $C_7^4$ смотрим на строку с $n=7$. Нам нужен элемент с номером $k=4$. Строка для $n=7$ выглядит так: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Элемент с номером 4 (пятый по счету) равен 35.

Ответ: 35

$C_8^6$

Для нахождения $C_8^6$ смотрим на строку с $n=8$. Нам нужен элемент с номером $k=6$. Строка для $n=8$ выглядит так: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Элемент с номером 6 (седьмой по счету) равен 28. Также можно использовать свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, из которого следует, что $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$. Элемент с номером 2 в этой же строке также равен 28.

Ответ: 28

$C_9^0$

Для нахождения $C_9^0$ смотрим на строку с $n=9$. Нам нужен элемент с номером $k=0$. Строка для $n=9$ выглядит так: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1. Элемент с номером 0 (первый по счету) всегда равен 1.

Ответ: 1

$C_3^3$

Для нахождения $C_3^3$ смотрим на строку с $n=3$. Нам нужен элемент с номером $k=3$. Строка для $n=3$ выглядит так: 1, 3, 3, 1. Элемент с номером 3 (четвертый по счету) равен 1. Последний элемент в любой строке ($C_n^n$) также всегда равен 1.

Ответ: 1

713 а) Запишите с помощью символа $C_n^m$ шестую и седьмую строки треугольника Паскаля.

б) Запишите с помощью символа $C_n^m$ несколько элементов какой-нибудь «диагонали» треугольника Паскаля.

а)

Треугольник Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов. Элементы n-й строки (при нумерации строк, начиная с n=0) задаются символами $C_n^m$, где m меняется от 0 до n. Таким образом, «нулевая» строка (самая верхняя) состоит из одного элемента $C_0^0=1$. Первая строка (n=1) состоит из $C_1^0, C_1^1$.

Следуя этой нумерации, шестая строка будет соответствовать n=5, а седьмая строка — n=6.

Шестая строка (n=5) состоит из следующих элементов, записанных с помощью символа $C_n^m$:
$C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$.

Седьмая строка (n=6) состоит из следующих элементов:
$C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

Ответ: Шестая строка: $C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$. Седьмая строка: $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

б)

«Диагонали» в треугольнике Паскаля представляют собой последовательности коэффициентов $C_n^m$, у которых один из индексов (n или m) или их разность (n-m) изменяются по определённому правилу, а другой параметр остаётся постоянным.

Рассмотрим одну из таких диагоналей, в которой верхний индекс m постоянен. Например, выберем диагональ, где m=2 (это третья по счёту диагональ, если начинать с m=0). Элементы этой диагонали имеют вид $C_n^2$, где нижний индекс n должен быть не меньше 2 (так как $n \ge m$).

Запишем несколько первых элементов для этой диагонали, начиная с наименьшего возможного n: $C_2^2, C_3^2, C_4^2, C_5^2, \ldots$

Эти коэффициенты соответствуют числовым значениям 1, 3, 6, 10, ... , которые образуют последовательность так называемых треугольных чисел.

Ответ: Например, несколько элементов диагонали при $m=2$: $C_2^2, C_3^2, C_4^2, C_5^2$.

714 Сравните $C_5^2$ и $C_5^3$; $C_6^1$ и $C_6^5$; $C_9^4$ и $C_9^5$. Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его в символическом виде.

Для решения задачи используется формула числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_5^2$ и $C_5^3$
Вычислим значение $C_5^2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Вычислим значение $C_5^3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Поскольку $10 = 10$, то $C_5^2 = C_5^3$.
Ответ: $C_5^2 = C_5^3$.

$C_6^1$ и $C_6^5$
Вычислим значение $C_6^1$:
$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6}{1} = 6$.
Вычислим значение $C_6^5$:
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6}{1} = 6$.
Поскольку $6 = 6$, то $C_6^1 = C_6^5$.
Ответ: $C_6^1 = C_6^5$.

$C_9^4$ и $C_9^5$
Вычислим значение $C_9^4$:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Вычислим значение $C_9^5$:
$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Поскольку $126 = 126$, то $C_9^4 = C_9^5$.
Ответ: $C_9^4 = C_9^5$.

Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его в символическом виде
Во всех трех примерах мы видим, что $C_n^k = C_n^m$ в случаях, когда $k+m=n$. В частности, для первой пары $2+3=5$, для второй $1+5=6$, и для третьей $4+5=9$.
Эта закономерность иллюстрирует свойство симметричности для числа сочетаний.
Свойство: Число способов выбрать $k$ элементов из $n$-элементного множества равно числу способов выбрать $n-k$ элементов из того же множества. Это объясняется тем, что, выбирая $k$ элементов, мы одновременно определяем $n-k$ элементов, которые не были выбраны.
Символическая запись: Для любых целых чисел $n$ и $k$ при $0 \le k \le n$ выполняется равенство:
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Доказательство:Используя формулу для числа сочетаний, преобразуем правую часть равенства:$C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = C_n^k$.
Равенство доказано.
Ответ: Свойство симметричности числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

715 Представьте в виде многочлена:

а) $(a + b)^7$;

б) $(x + y)^8$;

В) $(b + c)^9$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a + b)^7$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $, где $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ — это биномиальные коэффициенты.

В данном случае степень $n=7$. Коэффициенты $ \binom{7}{k} $ для $ k $ от 0 до 7 можно найти с помощью треугольника Паскаля. Соответствующая строка для $n=7$ выглядит так: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Применим формулу, подставляя $x=a$, $y=b$ и найденные коэффициенты:

$ (a+b)^7 = \binom{7}{0}a^7b^0 + \binom{7}{1}a^6b^1 + \binom{7}{2}a^5b^2 + \binom{7}{3}a^4b^3 + \binom{7}{4}a^3b^4 + \binom{7}{5}a^2b^5 + \binom{7}{6}a^1b^6 + \binom{7}{7}a^0b^7 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (a+b)^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6b + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot ab^6 + 1 \cdot b^7 $

Ответ: $a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) Аналогично раскроем выражение $(x + y)^8$, где $n=8$.

Строка коэффициентов треугольника Паскаля для $n=8$ следующая: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.

Применяем формулу бинома Ньютона:

$ (x+y)^8 = \binom{8}{0}x^8y^0 + \binom{8}{1}x^7y^1 + \binom{8}{2}x^6y^2 + \binom{8}{3}x^5y^3 + \binom{8}{4}x^4y^4 + \binom{8}{5}x^3y^5 + \binom{8}{6}x^2y^6 + \binom{8}{7}x^1y^7 + \binom{8}{8}x^0y^8 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (x+y)^8 = 1 \cdot x^8 + 8 \cdot x^7y + 28 \cdot x^6y^2 + 56 \cdot x^5y^3 + 70 \cdot x^4y^4 + 56 \cdot x^3y^5 + 28 \cdot x^2y^6 + 8 \cdot xy^7 + 1 \cdot y^8 $

Ответ: $x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8$

в) Теперь представим в виде многочлена выражение $(b + c)^9$, где $n=9$.

Строка коэффициентов треугольника Паскаля для $n=9$ имеет вид: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1.

Применяем формулу бинома Ньютона:

$ (b+c)^9 = \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} b^{9-k} c^k $

$ (b+c)^9 = \binom{9}{0}b^9 + \binom{9}{1}b^8c + \binom{9}{2}b^7c^2 + \binom{9}{3}b^6c^3 + \binom{9}{4}b^5c^4 + \binom{9}{5}b^4c^5 + \binom{9}{6}b^3c^6 + \binom{9}{7}b^2c^7 + \binom{9}{8}bc^8 + \binom{9}{9}c^9 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (b+c)^9 = 1 \cdot b^9 + 9 \cdot b^8c + 36 \cdot b^7c^2 + 84 \cdot b^6c^3 + 126 \cdot b^5c^4 + 126 \cdot b^4c^5 + 84 \cdot b^3c^6 + 36 \cdot b^2c^7 + 9 \cdot bc^8 + 1 \cdot c^9 $

Ответ: $b^9 + 9b^8c + 36b^7c^2 + 84b^6c^3 + 126b^5c^4 + 126b^4c^5 + 84b^3c^6 + 36b^2c^7 + 9bc^8 + c^9$

716 Представьте в виде многочлена:

а) $(x + 1)^5;$

б) $(2a + 3)^4;$

в) $(a - b)^6;$

г) $(2 - m)^7;$

д) $(x + 2y)^5;$

е) $(2c - 3m)^4.$

Для решения данных задач используется формула бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, где $\binom{n}{k}$ — биномиальные коэффициенты, которые можно найти, например, с помощью треугольника Паскаля.

а) Для разложения выражения $(x+1)^5$ в многочлен используем формулу бинома Ньютона. Коэффициенты для степени $n=5$ равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Запишем разложение:
$(x+1)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1^0 + 5 \cdot x^4 \cdot 1^1 + 10 \cdot x^3 \cdot 1^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 1^3 + 5 \cdot x^1 \cdot 1^4 + 1 \cdot x^0 \cdot 1^5$.
Так как умножение на 1 не меняет значения, получаем:
$x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.
Ответ: $x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.

б) Для разложения выражения $(2a+3)^4$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1.
Запишем разложение, где $a=2a$ и $b=3$:
$(2a+3)^4 = 1 \cdot (2a)^4 \cdot 3^0 + 4 \cdot (2a)^3 \cdot 3^1 + 6 \cdot (2a)^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot (2a)^1 \cdot 3^3 + 1 \cdot (2a)^0 \cdot 3^4$.
Упростим выражение:
$1 \cdot 16a^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8a^3 \cdot 3 + 6 \cdot 4a^2 \cdot 9 + 4 \cdot 2a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 = 16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a + 81$.
Ответ: $16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a + 81$.

в) Для разложения выражения $(a-b)^6$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Так как второй член в скобках отрицательный ($-b$), знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение:
$(a-b)^6 = 1 \cdot a^6 - 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 - 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 - 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot b^6$.
Это и есть конечный многочлен.
Ответ: $a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6$.

г) Для разложения выражения $(2-m)^7$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение, где $a=2$ и $b=-m$:
$(2-m)^7 = 1 \cdot 2^7 - 7 \cdot 2^6m^1 + 21 \cdot 2^5m^2 - 35 \cdot 2^4m^3 + 35 \cdot 2^3m^4 - 21 \cdot 2^2m^5 + 7 \cdot 2^1m^6 - 1 \cdot m^7$.
Упростим выражение:
$128 - 7(64)m + 21(32)m^2 - 35(16)m^3 + 35(8)m^4 - 21(4)m^5 + 14m^6 - m^7 = 128 - 448m + 672m^2 - 560m^3 + 280m^4 - 84m^5 + 14m^6 - m^7$.
Ответ: $128 - 448m + 672m^2 - 560m^3 + 280m^4 - 84m^5 + 14m^6 - m^7$.

д) Для разложения выражения $(x+2y)^5$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Запишем разложение, где $a=x$ и $b=2y$:
$(x+2y)^5 = 1 \cdot x^5(2y)^0 + 5 \cdot x^4(2y)^1 + 10 \cdot x^3(2y)^2 + 10 \cdot x^2(2y)^3 + 5 \cdot x^1(2y)^4 + 1 \cdot x^0(2y)^5$.
Упростим выражение:
$x^5 + 5x^4(2y) + 10x^3(4y^2) + 10x^2(8y^3) + 5x(16y^4) + 32y^5 = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$.
Ответ: $x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$.

е) Для разложения выражения $(2c-3m)^4$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1. Знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение, где $a=2c$ и $b=-3m$:
$(2c-3m)^4 = 1 \cdot (2c)^4 - 4 \cdot (2c)^3(3m)^1 + 6 \cdot (2c)^2(3m)^2 - 4 \cdot (2c)^1(3m)^3 + 1 \cdot (3m)^4$.
Упростим выражение:
$16c^4 - 4(8c^3)(3m) + 6(4c^2)(9m^2) - 4(2c)(27m^3) + 81m^4 = 16c^4 - 96c^3m + 216c^2m^2 - 216cm^3 + 81m^4$.
Ответ: $16c^4 - 96c^3m + 216c^2m^2 - 216cm^3 + 81m^4$.

717 Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Указание. Подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = -1$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона для натурального числа $n \ge 1$:

где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Развернутая форма разложения бинома выглядит так:

В этом разложении коэффициенты $C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots$ стоят на 1-м, 2-м, 3-м и т.д. местах соответственно. Сумма коэффициентов на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, ...) это $S_{нечёт} = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$. Сумма коэффициентов на чётных местах (2-м, 4-м, 6-м, ...) это $S_{чёт} = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$. Требуется доказать, что $S_{нечёт} = S_{чёт}$.

Следуя указанию, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a=1$ и $b=-1$.

Левая часть формулы примет значение:

Правая часть формулы станет знакочередующейся суммой биномиальных коэффициентов:

Приравнивая левую и правую части, получаем равенство:

Сгруппируем члены с положительными знаками (соответствуют нечётным местам) и отрицательными знаками (соответствуют чётным местам):

Используя ранее введенные обозначения, получаем $0 = S_{нечёт} - S_{чёт}$, откуда следует, что $S_{нечёт} = S_{чёт}$.

Таким образом, доказано, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах.

Ответ: Утверждение доказывается подстановкой $a=1$ и $b=-1$ в формулу бинома Ньютона $(a+b)^n$. Это приводит к равенству $0 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k$ для $n \ge 1$. Перегруппировка слагаемых в этом равенстве даёт $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$, что и является доказательством того, что сумма коэффициентов на нечётных местах равна сумме коэффициентов на чётных местах.

718 Существует формула, по которой биномиальные коэффициенты можно вычислять непосредственно, не прибегая к треугольнику Паскаля:

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

1) Найдите по формуле $C_7^4$; $C_5^2$; $C_{10}^5$. Сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

2) Докажите, что $C_{12}^4 = C_{12}^8$.

3) Докажите, что $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$.

4) Докажите, что $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

1)

Найдем значения биномиальных коэффициентов по формуле $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{30240}{120} = 252$.

Теперь сравним полученные значения с числами из треугольника Паскаля. В строке с номером $n$ (нумерация с 0) $(m+1)$-й элемент равен $C_n^m$.
Строка для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Значение $C_5^2$ (третий элемент) равно 10. Результаты совпадают.
Строка для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Значение $C_7^4$ (пятый элемент) равно 35. Результаты совпадают.
Строка для $n=10$: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. Значение $C_{10}^5$ (шестой элемент) равно 252. Результаты совпадают.

Ответ: $C_7^4 = 35$; $C_5^2 = 10$; $C_{10}^5 = 252$. Результаты, полученные по формуле, совпадают с результатами из треугольника Паскаля.

2)

Нужно доказать, что $C_{12}^4 = C_{12}^8$. Это частный случай свойства симметричности биномиальных коэффициентов: $C_n^m = C_n^{n-m}$.

Вычислим левую часть равенства:
$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}$.

Вычислим правую часть равенства:
$C_{12}^8 = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!}$.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($4! \cdot 8! = 8! \cdot 4!$), то левая и правая части равенства равны.

Ответ: Равенство $C_{12}^4 = C_{12}^8$ доказано.

3)

Нужно доказать, что $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$. Это частный случай тождества Паскаля: $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу для биномиальных коэффициентов:
$C_7^2 + C_7^3 = \frac{7!}{2!(7-2)!} + \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} + \frac{7!}{3! \cdot 4!}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $3! = 3 \cdot 2!$ и $5! = 5 \cdot 4!$. Общий знаменатель будет $3! \cdot 5!$.
$\frac{7! \cdot 3}{3 \cdot 2! \cdot 5!} + \frac{7! \cdot 5}{3! \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{3 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} + \frac{5 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{(3+5) \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$ доказано.

4)

Нужно доказать тождество Паскаля: $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

Распишем левую часть по формуле:
$C_n^m + C_n^{m+1} = \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m+1)!(n-(m+1))!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Используем то, что $(m+1)! = (m+1) \cdot m!$ и $(n-m)! = (n-m) \cdot (n-m-1)!$. Общий знаменатель будет $(m+1)!(n-m)!$.
$\frac{n! \cdot (m+1)}{(m+1) \cdot m! \cdot (n-m)!} + \frac{n! \cdot (n-m)}{(m+1)! \cdot (n-m) \cdot (n-m-1)!} = \frac{(m+1)n!}{(m+1)!(n-m)!} + \frac{(n-m)n!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(m+1)n! + (n-m)n!}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{n! \cdot ((m+1) + (n-m))}{(m+1)!(n-m)!}$.

Упростим выражение в числителе:
$\frac{n! \cdot (m+1+n-m)}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{n! \cdot (n+1)}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства:
$C_{n+1}^{m+1} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!((n+1)-(m+1))!} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Мы получили, что преобразованная левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$ доказано.