Номер 715, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 715, страница 279.

715 Представьте в виде многочлена:

а) $(a + b)^7$;

б) $(x + y)^8$;

В) $(b + c)^9$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a + b)^7$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $, где $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ — это биномиальные коэффициенты.

В данном случае степень $n=7$. Коэффициенты $ \binom{7}{k} $ для $ k $ от 0 до 7 можно найти с помощью треугольника Паскаля. Соответствующая строка для $n=7$ выглядит так: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Применим формулу, подставляя $x=a$, $y=b$ и найденные коэффициенты:

$ (a+b)^7 = \binom{7}{0}a^7b^0 + \binom{7}{1}a^6b^1 + \binom{7}{2}a^5b^2 + \binom{7}{3}a^4b^3 + \binom{7}{4}a^3b^4 + \binom{7}{5}a^2b^5 + \binom{7}{6}a^1b^6 + \binom{7}{7}a^0b^7 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (a+b)^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6b + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot ab^6 + 1 \cdot b^7 $

Ответ: $a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) Аналогично раскроем выражение $(x + y)^8$, где $n=8$.

Строка коэффициентов треугольника Паскаля для $n=8$ следующая: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.

Применяем формулу бинома Ньютона:

$ (x+y)^8 = \binom{8}{0}x^8y^0 + \binom{8}{1}x^7y^1 + \binom{8}{2}x^6y^2 + \binom{8}{3}x^5y^3 + \binom{8}{4}x^4y^4 + \binom{8}{5}x^3y^5 + \binom{8}{6}x^2y^6 + \binom{8}{7}x^1y^7 + \binom{8}{8}x^0y^8 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (x+y)^8 = 1 \cdot x^8 + 8 \cdot x^7y + 28 \cdot x^6y^2 + 56 \cdot x^5y^3 + 70 \cdot x^4y^4 + 56 \cdot x^3y^5 + 28 \cdot x^2y^6 + 8 \cdot xy^7 + 1 \cdot y^8 $

Ответ: $x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8$

в) Теперь представим в виде многочлена выражение $(b + c)^9$, где $n=9$.

Строка коэффициентов треугольника Паскаля для $n=9$ имеет вид: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1.

Применяем формулу бинома Ньютона:

$ (b+c)^9 = \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} b^{9-k} c^k $

$ (b+c)^9 = \binom{9}{0}b^9 + \binom{9}{1}b^8c + \binom{9}{2}b^7c^2 + \binom{9}{3}b^6c^3 + \binom{9}{4}b^5c^4 + \binom{9}{5}b^4c^5 + \binom{9}{6}b^3c^6 + \binom{9}{7}b^2c^7 + \binom{9}{8}bc^8 + \binom{9}{9}c^9 $

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

$ (b+c)^9 = 1 \cdot b^9 + 9 \cdot b^8c + 36 \cdot b^7c^2 + 84 \cdot b^6c^3 + 126 \cdot b^5c^4 + 126 \cdot b^4c^5 + 84 \cdot b^3c^6 + 36 \cdot b^2c^7 + 9 \cdot bc^8 + 1 \cdot c^9 $

Ответ: $b^9 + 9b^8c + 36b^7c^2 + 84b^6c^3 + 126b^5c^4 + 126b^4c^5 + 84b^3c^6 + 36b^2c^7 + 9bc^8 + c^9$