Номер 711, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 711, страница 278.

711 Докажите, что сумма чисел строки с номером $n$ треугольника Паскаля равна $2^n$.

Указание. Можно доказать это разными способами:

1) воспользуйтесь результатом задачи 709;

2) подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

1) воспользуйтесь результатом задачи 709;

Обозначим сумму чисел в строке с номером $n$ треугольника Паскаля через $S_n$. Результат задачи 709 заключается в свойстве, что сумма чисел в любой строке (начиная с первой) в два раза больше суммы чисел в предыдущей строке. Математически это выражается рекуррентным соотношением: $S_n = 2 S_{n-1}$ для $n \ge 1$.

Чтобы найти общую формулу для $S_n$, нам также нужен "базовый случай". Нулевая строка (при $n=0$) треугольника Паскаля состоит из одного числа 1. Следовательно, сумма чисел в нулевой строке равна $S_0 = 1$.

Используя рекуррентное соотношение, мы можем последовательно выразить $S_n$ через $S_0$:
$S_1 = 2 S_0$
$S_2 = 2 S_1 = 2 (2 S_0) = 2^2 S_0$
$S_3 = 2 S_2 = 2 (2^2 S_0) = 2^3 S_0$
...
$S_n = 2^n S_0$

Подставляя известное значение $S_0 = 1$, получаем итоговую формулу:
$S_n = 2^n \cdot 1 = 2^n$.

Ответ: Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля $S_n$ удовлетворяет соотношению $S_n = 2S_{n-1}$. Так как $S_0 = 1$, то по индукции $S_n = 2^n$.

2) подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$.

Коэффициенты $C_n^k$ в этой формуле — это биномиальные коэффициенты, которые и являются числами в строке с номером $n$ треугольника Паскаля. Сумма этих чисел есть $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Следуя указанию, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a=1$ и $b=1$.
Левая часть равенства станет: $(1+1)^n = 2^n$.
Правая часть равенства станет: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Приравнивая левую и правую части, мы получаем искомое тождество:
$2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$.

Ответ: Подстановка $a=1, b=1$ в формулу бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ дает $2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$, что и требовалось доказать.