Номер 710, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 710, страница 278.

710 Покажите в треугольнике Паскаля «диагональ», по которой располагается:

а) последовательность натуральных чисел;

б) последовательность треугольных чисел (1; 3; 6; 10; ...);

в) последовательность пирамидальных чисел (1; 4; 10; 20; ...).

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В ней по краям стоят единицы, а каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки и диагонали треугольника нумеруются с нуля.

Вот первые несколько строк треугольника Паскаля (где $n$ — номер строки, а $k$ — номер элемента в строке, нумерация с 0):

 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 n=0: 1 n=1: 1 1 n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n=5: 1 5 10 10 5 1 n=6: 1 6 15 20 15 6 1 ... 

Элемент в n-й строке и на k-й позиции равен биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$. «Диагонали», о которых идет речь в задаче, это последовательности чисел, где номер позиции $k$ постоянен.

а) последовательность натуральных чисел

Последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ расположена на «диагонали» с индексом $k=1$ (вторая, если считать с края). Эта диагональ состоит из элементов $\binom{n}{1}$ для $n \ge 1$.

$C_1^1 = \binom{1}{1} = 1$
$C_2^1 = \binom{2}{1} = 2$
$C_3^1 = \binom{3}{1} = 3$
$C_4^1 = \binom{4}{1} = 4$
...
В общем виде: $\binom{n}{1} = n$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность натуральных чисел находится на второй «диагонали» (с $k=1$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^1$ для $n \ge 1$.

б) последовательность треугольных чисел (1; 3; 6; 10; ...)

Треугольные числа — это числа, которые являются суммой последовательных натуральных чисел. n-е треугольное число $T_n = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$. Последовательность начинается так: $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$.

Эта последовательность расположена на «диагонали» с индексом $k=2$ (третья с края). Диагональ состоит из элементов $\binom{n}{2}$ для $n \ge 2$.

$C_2^2 = \binom{2}{2} = 1$ (это $T_1$)
$C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$ (это $T_2$)
$C_4^2 = \binom{4}{2} = 6$ (это $T_3$)
$C_5^2 = \binom{5}{2} = 10$ (это $T_4$)
...
В общем виде, n-е треугольное число $T_n$ равно $C_{n+1}^2 = \binom{n+1}{2}$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность треугольных чисел находится на третьей «диагонали» (с $k=2$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^2$ для $n \ge 2$.

в) последовательность пирамидальных чисел (1; 4; 10; 20; ...)

Пирамидальные (или тетраэдрические) числа — это числа, представляющие количество шаров, уложенных в виде пирамиды с треугольным основанием. n-е пирамидальное число $P_n$ — это сумма первых n треугольных чисел: $P_n = T_1+T_2+\dots+T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$. Последовательность начинается так: $1, 4, 10, 20, 35, \ldots$.

Эта последовательность расположена на «диагонали» с индексом $k=3$ (четвертая с края). Диагональ состоит из элементов $\binom{n}{3}$ для $n \ge 3$.

$C_3^3 = \binom{3}{3} = 1$ (это $P_1$)
$C_4^3 = \binom{4}{3} = 4$ (это $P_2$)
$C_5^3 = \binom{5}{3} = 10$ (это $P_3$)
$C_6^3 = \binom{6}{3} = 20$ (это $P_4$)
...
В общем виде, n-е пирамидальное число $P_n$ равно $C_{n+2}^3 = \binom{n+2}{3}$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность пирамидальных чисел находится на четвертой «диагонали» (с $k=3$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^3$ для $n \ge 3$.