Номер 708, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 708, страница 278.

708 Постройте у себя в тетради первые десять строк треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля — это числовая таблица треугольной формы, которая обладает множеством интересных математических свойств. Он назван в честь французского математика Блеза Паскаля.

Построение треугольника осуществляется по следующим простым правилам:

• На вершине треугольника (в нулевой строке) стоит число 1.
• Каждая следующая строка начинается и заканчивается единицами.
• Каждое из остальных чисел в строке равно сумме двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Элементы треугольника Паскаля также являются биномиальными коэффициентами. Элемент, находящийся в $n$-й строке на $k$-м месте (нумерация строк и мест в них начинается с 0), равен биномиальному коэффициенту $C_n^k$, который вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Например, чтобы найти 3-й элемент ($k=2$) в 4-й строке ($n=4$), мы можем сложить 2-й и 3-й элементы из 3-й строки (3 + 3 = 6), или использовать формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Ниже представлены первые десять строк треугольника Паскаля (с 0-й по 9-ю):

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ответ: Первые десять строк треугольника Паскаля построены и представлены в таблице выше.