Номер 705, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 705, страница 274.

705 Определите, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху, вычислив сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; \frac{1}{10000}; \dots$

Чтобы определить, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху в рамках знаменитого парадокса Зенона, необходимо вычислить общее расстояние, которое пробежит Ахиллес. Это расстояние представляет собой сумму всех последовательных отрезков, которые он покрывает, чтобы достичь предыдущего местоположения черепахи. Эти отрезки образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Задана последовательность расстояний: $1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \dots$

Для нахождения суммы этой прогрессии определим её ключевые параметры.

Первый член прогрессии $b_1$ — это начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой: $b_1 = 1000$.

Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное отношение, во сколько раз каждый следующий член меньше предыдущего. Вычислим его, разделив второй член на первый: $q = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |0.1| < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму $S$ можно найти по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу, чтобы вычислить общее расстояние (количество шагов): $S = \frac{1000}{1 - 0.1} = \frac{1000}{0.9} = \frac{10000}{9}$.

Для наглядности представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{10000}{9} = 1111\frac{1}{9}$.

Таким образом, Ахиллес догонит черепаху, пробежав в общей сложности $1111\frac{1}{9}$ шагов.

Ответ: $1111\frac{1}{9}$ шагов.