Номер 706, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 706, страница 274.

706 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(7)$;

б) $0,(12)$;

в) $0,1(3)$.

а) Чтобы представить чистую периодическую дробь $0,(7)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,(7) = 0,777...$

Период дроби состоит из одной цифры. Умножим обе части этого равенства на $10$, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:

$10x = 7,777...$

Теперь вычтем из второго равенства первое:

$10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

б) Чтобы представить чистую периодическую дробь $0,(12)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,(12) = 0,121212...$

Период дроби состоит из двух цифр. Умножим обе части этого равенства на $100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 12,121212...$

Вычтем из второго равенства первое:

$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$

$99x = 12$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{12}{99}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

Ответ: $\frac{4}{33}$

в) Чтобы представить смешанную периодическую дробь $0,1(3)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,1(3) = 0,1333...$

Эта дробь имеет одну цифру до периода (1) и одну цифру в периоде (3). Сначала умножим обе части равенства на $10$, чтобы получить дробь, у которой период начинается сразу после запятой:

$10x = 1,333...$

Теперь умножим исходное равенство на $100$, чтобы сдвинуть запятую так, чтобы она оказалась после первого периода:

$100x = 13,333...$

Теперь у нас есть два числа с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 13,333... - 1,333...$

$90x = 12$

Находим $x$:

$x = \frac{12}{90}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 90 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$x = \frac{12 \div 6}{90 \div 6} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$