Номер 700, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 700, страница 270.

700 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Николай и Сергей вложили по 3000 р. в разные банки. У Николая годовой доход составляет 10%, а у Сергея — 5%. Верно ли, что:

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

б) доход Николая будет через 3 года в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Для решения задачи будем использовать формулу сложных процентов, так как вклады сделаны в банки, где проценты, как правило, капитализируются (начисляются на уже накопленную сумму). Сумма вклада (капитал) через $t$ лет вычисляется по формуле:

$A = P(1 + r)^t$,

где $P$ — первоначальный вклад, $r$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $t$ — количество лет.

Доход (сумма начисленных процентов) за $t$ лет равен разнице между итоговой суммой и первоначальным вкладом:

$Д = A - P = P((1 + r)^t - 1)$.

Исходные данные:

• Первоначальный вклад Николая и Сергея: $P = 3000$ р.
• Годовая ставка у Николая: $r_Н = 10\% = 0.1$
• Годовая ставка у Сергея: $r_С = 5\% = 0.05$

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

Найдем доход каждого через 1 год ($t=1$).

Доход Николая:

$Д_Н = 3000 \cdot ((1 + 0.1)^1 - 1) = 3000 \cdot (1.1 - 1) = 3000 \cdot 0.1 = 300$ р.

Доход Сергея:

$Д_С = 3000 \cdot ((1 + 0.05)^1 - 1) = 3000 \cdot (1.05 - 1) = 3000 \cdot 0.05 = 150$ р.

Теперь сравним их доходы:

$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{300}{150} = 2$.

Доход Николая действительно в 2 раза больше дохода Сергея через год.

Ответ: верно.

б) доход Николая будет через 3 года в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Найдем совокупный доход каждого за 3 года ($t=3$), используя ту же формулу сложных процентов.

Доход Николая за 3 года:

$Д_Н = 3000 \cdot ((1 + 0.1)^3 - 1) = 3000 \cdot (1.1^3 - 1) = 3000 \cdot (1.331 - 1) = 3000 \cdot 0.331 = 993$ р.

Доход Сергея за 3 года:

$Д_С = 3000 \cdot ((1 + 0.05)^3 - 1) = 3000 \cdot (1.05^3 - 1) = 3000 \cdot (1.157625 - 1) = 3000 \cdot 0.157625 = 472.875$ р.

Теперь сравним их доходы за 3 года:

$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{993}{472.875} \approx 2.0999...$

Отношение их доходов не равно 2. Доход Николая будет примерно в 2.1 раза больше дохода Сергея, но не ровно в 2 раза.

Ответ: неверно.