Номер 693, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 693, страница 268.

Решите задачу, используя какой-либо из способов рассуждения, разобранных в предыдущем упражнении (693–694).

693 Ольга вложила в банк 2000 р. под 10% годовых на 4 года. Определите:

а) какая сумма будет на счёте в конце каждого года;

б) чему будет равен годовой доход Ольги за каждый год из этих четырёх лет;

в) на сколько годовой доход за второй год больше дохода за первый; доход за третий год больше дохода за второй и т. д.

В данной задаче речь идет о вкладе со сложными процентами. Это означает, что проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущие периоды (капитализация процентов).

Исходные данные: начальная сумма вклада ($S_0$) — 2000 р.; годовая процентная ставка ($p$) — 10% или 0,1 в долях; срок вклада — 4 года.

Формула для расчета суммы на счете в конце n-го года при сложных процентах: $S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n$, где $r$ — годовая процентная ставка в долях.

а) какая сумма будет на счёте в конце каждого года;

Рассчитаем сумму на счете в конце каждого из четырех лет.

Конец 1-го года:
Сумма на счете будет равна начальной сумме плюс начисленные за год проценты.
$S_1 = 2000 \cdot (1 + 0,1) = 2000 \cdot 1,1 = 2200$ р.

Конец 2-го года:
Проценты начисляются на новую сумму (2200 р.).
$S_2 = 2200 \cdot (1 + 0,1) = 2200 \cdot 1,1 = 2420$ р.
Или по общей формуле: $S_2 = 2000 \cdot (1,1)^2 = 2000 \cdot 1,21 = 2420$ р.

Конец 3-го года:
Проценты начисляются на сумму 2420 р.
$S_3 = 2420 \cdot (1 + 0,1) = 2420 \cdot 1,1 = 2662$ р.
Или по общей формуле: $S_3 = 2000 \cdot (1,1)^3 = 2000 \cdot 1,331 = 2662$ р.

Конец 4-го года:
Проценты начисляются на сумму 2662 р.
$S_4 = 2662 \cdot (1 + 0,1) = 2662 \cdot 1,1 = 2928,2$ р.
Или по общей формуле: $S_4 = 2000 \cdot (1,1)^4 = 2000 \cdot 1,4641 = 2928,2$ р.

Ответ: в конце 1-го года сумма составит 2200 р., в конце 2-го года — 2420 р., в конце 3-го года — 2662 р., в конце 4-го года — 2928,2 р.

б) чему будет равен годовой доход Ольги за каждый год из этих четырёх лет;

Годовой доход — это сумма процентов, начисленных за соответствующий год. Он равен разнице между суммой на счете в конце текущего года и суммой на счете в конце предыдущего года.

Доход за 1-й год ($Д_1$):
Доход рассчитывается от начальной суммы 2000 р.
$Д_1 = S_1 - S_0 = 2200 - 2000 = 200$ р. (или $2000 \cdot 0,1 = 200$ р.)

Доход за 2-й год ($Д_2$):
Доход рассчитывается от суммы на начало второго года (2200 р.).
$Д_2 = S_2 - S_1 = 2420 - 2200 = 220$ р. (или $2200 \cdot 0,1 = 220$ р.)

Доход за 3-й год ($Д_3$):
Доход рассчитывается от суммы на начало третьего года (2420 р.).
$Д_3 = S_3 - S_2 = 2662 - 2420 = 242$ р. (или $2420 \cdot 0,1 = 242$ р.)

Доход за 4-й год ($Д_4$):
Доход рассчитывается от суммы на начало четвертого года (2662 р.).
$Д_4 = S_4 - S_3 = 2928,2 - 2662 = 266,2$ р. (или $2662 \cdot 0,1 = 266,2$ р.)

Ответ: годовой доход за 1-й год — 200 р., за 2-й год — 220 р., за 3-й год — 242 р., за 4-й год — 266,2 р.

в) на сколько годовой доход за второй год больше дохода за первый; доход за третий год больше дохода за второй и т. д.

Сравним годовые доходы, рассчитанные в пункте б).

Разница между доходом за 2-й и 1-й год:
$Д_2 - Д_1 = 220 - 200 = 20$ р.

Разница между доходом за 3-й и 2-й год:
$Д_3 - Д_2 = 242 - 220 = 22$ р.

Разница между доходом за 4-й и 3-й год:
$Д_4 - Д_3 = 266,2 - 242 = 24,2$ р.

Можно заметить, что каждый год разница в доходе увеличивается. Это происходит потому, что разница между доходами за соседние годы равна доходу за предыдущий год, умноженному на процентную ставку. Например, $Д_2 - Д_1 = Д_1 \cdot 0,1 = 200 \cdot 0,1 = 20$ р.

Ответ: доход за второй год больше дохода за первый на 20 р.; доход за третий год больше дохода за второй на 22 р.; доход за четвертый год больше дохода за третий на 24,2 р.