Номер 691, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 691, страница 267.

691 В банк внесён вклад в размере 500 р. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает: $8\%$ годовых; $10\%$; $16\%$. (Воспользуйтесь калькулятором.)

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов, которая показывает, как будет расти вклад с учетом ежегодного начисления процентов:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S_n$ — итоговая сумма на счете через $n$ лет;
• $S_0$ — первоначальный вклад (в нашем случае $S_0 = 500$ р.);
• $p$ — годовая процентная ставка;
• $n$ — количество лет.

Нам нужно узнать, через сколько лет вклад удвоится. Это означает, что итоговая сумма $S_n$ должна стать равной $2 \cdot S_0$, то есть $2 \cdot 500 = 1000$ р.

Подставим это условие в формулу:

$2 \cdot S_0 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

Разделив обе части уравнения на $S_0$ (которое не равно нулю), мы получим уравнение, не зависящее от начальной суммы вклада:

$2 = (1 + \frac{p}{100})^n$

Теперь нам нужно найти наименьшее целое число лет $n$, при котором это равенство (или неравенство $ (1 + \frac{p}{100})^n \ge 2 $) будет выполняться для каждой из предложенных процентных ставок.

8% годовых;

При ставке $p=8\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{8}{100})^n$

$2 = (1.08)^n$

Чтобы найти $n$, воспользуемся логарифмами. Прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 10:

$\lg(2) = \lg((1.08)^n)$

$\lg(2) = n \cdot \lg(1.08)$

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.08)}$

С помощью калькулятора находим значения логарифмов: $\lg(2) \approx 0.30103$ и $\lg(1.08) \approx 0.03342$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.03342} \approx 9.007$ лет.

Поскольку проценты начисляются раз в год, количество лет должно быть целым числом. Через 9 лет сумма вклада еще не удвоится ($1.08^9 \approx 1.999 < 2$). Удвоение произойдет только по окончании 10-го года ($1.08^{10} \approx 2.159 > 2$).

Ответ: через 10 лет.

10%;

При ставке $p=10\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{10}{100})^n$

$2 = (1.1)^n$

Находим $n$ аналогичным образом:

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.1)}$

С помощью калькулятора: $\lg(1.1) \approx 0.04139$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.04139} \approx 7.27$ лет.

Округляем полученное значение до ближайшего целого в большую сторону, так как через 7 лет вклад еще не удвоится ($1.1^7 \approx 1.949 < 2$). Удвоение произойдет через 8 лет ($1.1^8 \approx 2.144 > 2$).

Ответ: через 8 лет.

16%.

При ставке $p=16\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{16}{100})^n$

$2 = (1.16)^n$

Находим $n$:

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.16)}$

С помощью калькулятора: $\lg(1.16) \approx 0.06446$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.06446} \approx 4.67$ лет.

Округляем до ближайшего целого в большую сторону. Через 4 года вклад не удвоится ($1.16^4 \approx 1.81 < 2$). Это произойдет только через 5 лет ($1.16^5 \approx 2.1 > 2$).

Ответ: через 5 лет.