Номер 695, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 695, страница 268.

695 В течение 2015 г. в области произошло 640 дорожно-транспортных происшествий (ДТП). Благодаря мерам, принимаемым администрацией области, число аварий ежегодно уменьшается и составляет $75\%$ от числа аварий в предыдущем году. Определите:

а) сколько примерно ДТП может произойти в 2020 г., если эта тенденция сохранится;

б) сколько всего ДТП может произойти в области с 2015 по 2020 г. включительно.

Данная задача описывает последовательность, в которой количество ДТП ежегодно уменьшается. Эта последовательность является геометрической прогрессией. Определим ее ключевые параметры.

Первый член прогрессии, $b_1$, соответствует количеству ДТП в 2015 году, следовательно, $b_1 = 640$.

Поскольку количество аварий ежегодно составляет 75% от числа аварий в предыдущем году, знаменатель прогрессии $q$ равен $75\%$, или $q = 0.75$.

а) сколько примерно ДТП может произойти в 2020 г., если эта тенденция сохранится;

Нам необходимо определить прогнозируемое число ДТП на 2020 год. Период с 2015 по 2020 год охватывает 6 лет. Таким образом, 2015 год является первым членом прогрессии ($n=1$), а 2020 год — шестым членом ($n=6$).

Для вычисления n-го члена геометрической прогрессии применяется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения, чтобы найти количество ДТП в 2020 году ($b_6$):

$b_6 = 640 \cdot (0.75)^{6-1} = 640 \cdot (0.75)^5$

Для упрощения расчетов представим $0.75$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$:

$b_6 = 640 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 640 \cdot \frac{3^5}{4^5} = 640 \cdot \frac{243}{1024}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$b_6 = \frac{640 \cdot 243}{1024} = \frac{5 \cdot 128 \cdot 243}{8 \cdot 128} = \frac{5 \cdot 243}{8} = \frac{1215}{8} = 151.875$

Поскольку количество ДТП является целым числом, необходимо округлить полученное значение до ближайшего целого.

$151.875 \approx 152$

Ответ: примерно 152 ДТП.

б) сколько всего ДТП может произойти в области с 2015 по 2020 г. включительно.

Чтобы найти общее количество ДТП за период с 2015 по 2020 год, нужно рассчитать сумму первых шести членов ($S_6$) данной геометрической прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставим наши данные ($b_1 = 640$, $q = 0.75$, $n = 6$):

$S_6 = \frac{640(1 - (0.75)^6)}{1 - 0.75}$

Проведем вычисления, используя дроби:

$S_6 = \frac{640(1 - (\frac{3}{4})^6)}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{640(1 - \frac{729}{4096})}{\frac{1}{4}}$

$S_6 = \frac{640(\frac{4096-729}{4096})}{\frac{1}{4}} = \frac{640 \cdot \frac{3367}{4096}}{\frac{1}{4}} = 640 \cdot \frac{3367}{4096} \cdot 4 = \frac{2560 \cdot 3367}{4096}$

Сократим полученную дробь:

$S_6 = \frac{5 \cdot 512 \cdot 3367}{8 \cdot 512} = \frac{5 \cdot 3367}{8} = \frac{16835}{8} = 2104.375$

Можно также проверить результат, сложив количество ДТП за каждый год (без округления промежуточных результатов):
2015: 640
2016: $640 \cdot 0.75 = 480$
2017: $480 \cdot 0.75 = 360$
2018: $360 \cdot 0.75 = 270$
2019: $270 \cdot 0.75 = 202.5$
2020: $202.5 \cdot 0.75 = 151.875$
Сумма: $640 + 480 + 360 + 270 + 202.5 + 151.875 = 2104.375$

Округлим итоговое значение до ближайшего целого числа.

$2104.375 \approx 2104$

Ответ: примерно 2104 ДТП.