Номер 709, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 709, страница 278.

709 Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается. (Вам может помочь схема на рис. 4.21.)

Проверка на примерах

Для проверки утверждения построим первые несколько строк треугольника Паскаля (нумерация начинается с нулевой строки) и вычислим сумму элементов в каждой строке.

Строка 0: 1
Сумма $S_0 = 1 = 2^0$

Строка 1: 1 1
Сумма $S_1 = 1 + 1 = 2 = 2^1$

Строка 2: 1 2 1
Сумма $S_2 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$

Строка 3: 1 3 3 1
Сумма $S_3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$

Строка 4: 1 4 6 4 1
Сумма $S_4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$

Теперь сравним отношения сумм элементов соседних строк:

• $S_1 / S_0 = 2 / 1 = 2$
• $S_2 / S_1 = 4 / 2 = 2$
• $S_3 / S_2 = 8 / 4 = 2$
• $S_4 / S_3 = 16 / 8 = 2$

Примеры показывают, что сумма элементов каждой последующей строки ровно в два раза больше суммы элементов предыдущей строки.

Ответ: Проверка на примерах первых пяти строк треугольника Паскаля подтверждает, что сумма элементов каждой следующей строки вдвое больше суммы элементов предыдущей. Например, сумма элементов 3-й строки равна 8, а 4-й строки — 16, что в 2 раза больше ($16 / 8 = 2$).

Объяснение

Это свойство является прямым следствием правила построения треугольника Паскаля. Вспомним, что каждый элемент строки (кроме крайних единиц) получается путем сложения двух элементов, расположенных над ним в предыдущей строке.

Обозначим сумму элементов строки с номером $n-1$ как $S_{n-1}$, а сумму элементов следующей строки с номером $n$ как $S_n$. Чтобы найти $S_n$, мы должны сложить все её элементы. Но каждый элемент строки $n$ — это сумма элементов из строки $n-1$.

Рассмотрим, как каждый элемент из строки $n-1$ вносит свой "вклад" в сумму $S_n$. Каждый элемент из строки $n-1$ (кроме крайних) участвует в образовании двух элементов строки $n$: элемента слева-внизу и элемента справа-внизу от него. Крайние единицы также вносят свой вклад в два элемента следующей строки (в единицу и в соседний с ней элемент).

Например, при переходе от строки 3 ($1, 3, 3, 1$) к строке 4 ($1, 4, 6, 4, 1$):
$S_4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = (1) + (1+3) + (3+3) + (3+1) + (1)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть вклад каждого элемента из третьей строки:
$S_4 = (1+3+3+1) + (1+3+3+1) = S_3 + S_3 = 2 \cdot S_3$

В общем случае, если элементы $(n-1)$-й строки — это $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$, то сумма элементов $n$-й строки будет:
$S_n = a_0 + (a_0+a_1) + (a_1+a_2) + \dots + (a_{n-2}+a_{n-1}) + a_{n-1}$

Сгруппировав слагаемые, мы увидим, что каждый элемент $a_k$ из предыдущей строки входит в эту сумму ровно два раза:
$S_n = (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1}) + (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1}) = 2 \cdot (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1})$

Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение:
$S_n = 2 \cdot S_{n-1}$

Ответ: Сумма элементов строки $n$ ($S_n$) формируется путем сложения пар соседних элементов из строки $n-1$. При суммировании всех элементов строки $n$ каждый элемент из строки $n-1$ оказывается учтенным ровно дважды. Поэтому сумма элементов строки $n$ в два раза больше суммы элементов строки $n-1$, то есть $S_n = 2S_{n-1}$.