Номер 717, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 717, страница 279.

717 Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Указание. Подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = -1$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона для натурального числа $n \ge 1$:

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k $$

где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Развернутая форма разложения бинома выглядит так:

$$ (a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + C_n^3 a^{n-3} b^3 + \dots + C_n^n a^0 b^n $$

В этом разложении коэффициенты $C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots$ стоят на 1-м, 2-м, 3-м и т.д. местах соответственно. Сумма коэффициентов на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, ...) это $S_{нечёт} = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$. Сумма коэффициентов на чётных местах (2-м, 4-м, 6-м, ...) это $S_{чёт} = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$. Требуется доказать, что $S_{нечёт} = S_{чёт}$.

Следуя указанию, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a=1$ и $b=-1$.

Левая часть формулы примет значение:

$$ (1 + (-1))^n = (1-1)^n = 0^n = 0 $$

Правая часть формулы станет знакочередующейся суммой биномиальных коэффициентов:

$$ \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots + (-1)^n C_n^n $$

Приравнивая левую и правую части, получаем равенство:

$$ 0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots $$

Сгруппируем члены с положительными знаками (соответствуют нечётным местам) и отрицательными знаками (соответствуют чётным местам):

$$ 0 = (C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots) - (C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots) $$

Используя ранее введенные обозначения, получаем $0 = S_{нечёт} - S_{чёт}$, откуда следует, что $S_{нечёт} = S_{чёт}$.

Таким образом, доказано, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах.

Ответ: Утверждение доказывается подстановкой $a=1$ и $b=-1$ в формулу бинома Ньютона $(a+b)^n$. Это приводит к равенству $0 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k$ для $n \ge 1$. Перегруппировка слагаемых в этом равенстве даёт $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$, что и является доказательством того, что сумма коэффициентов на нечётных местах равна сумме коэффициентов на чётных местах.