Номер 718, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 718, страница 279.

718 Существует формула, по которой биномиальные коэффициенты можно вычислять непосредственно, не прибегая к треугольнику Паскаля:

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

1) Найдите по формуле $C_7^4$; $C_5^2$; $C_{10}^5$. Сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

2) Докажите, что $C_{12}^4 = C_{12}^8$.

3) Докажите, что $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$.

4) Докажите, что $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

1)

Найдем значения биномиальных коэффициентов по формуле $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{30240}{120} = 252$.

Теперь сравним полученные значения с числами из треугольника Паскаля. В строке с номером $n$ (нумерация с 0) $(m+1)$-й элемент равен $C_n^m$.
Строка для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Значение $C_5^2$ (третий элемент) равно 10. Результаты совпадают.
Строка для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Значение $C_7^4$ (пятый элемент) равно 35. Результаты совпадают.
Строка для $n=10$: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. Значение $C_{10}^5$ (шестой элемент) равно 252. Результаты совпадают.

Ответ: $C_7^4 = 35$; $C_5^2 = 10$; $C_{10}^5 = 252$. Результаты, полученные по формуле, совпадают с результатами из треугольника Паскаля.

2)

Нужно доказать, что $C_{12}^4 = C_{12}^8$. Это частный случай свойства симметричности биномиальных коэффициентов: $C_n^m = C_n^{n-m}$.

Вычислим левую часть равенства:
$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}$.

Вычислим правую часть равенства:
$C_{12}^8 = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!}$.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($4! \cdot 8! = 8! \cdot 4!$), то левая и правая части равенства равны.

Ответ: Равенство $C_{12}^4 = C_{12}^8$ доказано.

3)

Нужно доказать, что $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$. Это частный случай тождества Паскаля: $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу для биномиальных коэффициентов:
$C_7^2 + C_7^3 = \frac{7!}{2!(7-2)!} + \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} + \frac{7!}{3! \cdot 4!}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $3! = 3 \cdot 2!$ и $5! = 5 \cdot 4!$. Общий знаменатель будет $3! \cdot 5!$.
$\frac{7! \cdot 3}{3 \cdot 2! \cdot 5!} + \frac{7! \cdot 5}{3! \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{3 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} + \frac{5 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{(3+5) \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7!}{3! \cdot 5!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $C_7^2 + C_7^3 = C_8^3$ доказано.

4)

Нужно доказать тождество Паскаля: $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$.

Распишем левую часть по формуле:
$C_n^m + C_n^{m+1} = \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m+1)!(n-(m+1))!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Используем то, что $(m+1)! = (m+1) \cdot m!$ и $(n-m)! = (n-m) \cdot (n-m-1)!$. Общий знаменатель будет $(m+1)!(n-m)!$.
$\frac{n! \cdot (m+1)}{(m+1) \cdot m! \cdot (n-m)!} + \frac{n! \cdot (n-m)}{(m+1)! \cdot (n-m) \cdot (n-m-1)!} = \frac{(m+1)n!}{(m+1)!(n-m)!} + \frac{(n-m)n!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(m+1)n! + (n-m)n!}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{n! \cdot ((m+1) + (n-m))}{(m+1)!(n-m)!}$.

Упростим выражение в числителе:
$\frac{n! \cdot (m+1+n-m)}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{n! \cdot (n+1)}{(m+1)!(n-m)!} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства:
$C_{n+1}^{m+1} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!((n+1)-(m+1))!} = \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}$.

Мы получили, что преобразованная левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}$ доказано.