Страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

729 В геометрической прогрессии $(b_n)$ сумма первого, второго и третьего членов равна 42, а сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21. Найдите сумму этих четырёх членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.По условию задачи, сумма первого, второго и третьего членов равна 42. Запишем это в виде уравнения:$b_1 + b_2 + b_3 = 42$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, перепишем уравнение:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = 42$ (1)

Также по условию, сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21:$b_2 + b_3 + b_4 = 21$

Перепишем это уравнение через $b_1$ и $q$:$b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = 21$Вынесем $b_1q$ за скобки:$b_1q(1 + q + q^2) = 21$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases}b_1(1 + q + q^2) = 42 \\b_1q(1 + q + q^2) = 21\end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это возможно, так как сумма членов не равна нулю, значит и $b_1(1+q+q^2) \ne 0$.$\frac{b_1q(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{21}{42}$

Сократив общие множители, получим значение знаменателя прогрессии $q$:$q = \frac{1}{2}$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение:$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 42$$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 42$$b_1(\frac{4+2+1}{4}) = 42$$b_1(\frac{7}{4}) = 42$$b_1 = 42 \cdot \frac{4}{7}$$b_1 = 6 \cdot 4 = 24$

Нам нужно найти сумму этих четырёх членов, то есть $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4$.Эту сумму можно представить как сумму первого члена и суммы второго, третьего и четвертого членов:$S_4 = b_1 + (b_2 + b_3 + b_4)$

Мы знаем, что $b_1 = 24$ и по условию $b_2 + b_3 + b_4 = 21$.Следовательно:$S_4 = 24 + 21 = 45$

Также можно было найти $S_4$ другим способом:$S_4 = (b_1 + b_2 + b_3) + b_4$По условию $b_1 + b_2 + b_3 = 42$.Найдем четвертый член прогрессии: $b_4 = b_1q^3 = 24 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3$.$S_4 = 42 + 3 = 45$Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 45

730 1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов геометрической прогрессии $(b_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1$, $S_2$, $S_3$ также является геометрической прогрессией.

2) Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, сумма следующих её трёх членов равна 48. Найдите:

a) сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно;

б) сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

1)

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда n-й член прогрессии задается формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Запишем выражения для сумм $S_1, S_2$ и $S_3$.

$S_1$ — это сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$): $S_1 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$.

$S_2$ — это сумма второй тройки членов прогрессии ($b_4, b_5, b_6$): $S_2 = b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = b_1q^3(1 + q + q^2)$.

$S_3$ — это сумма третьей тройки членов прогрессии ($b_7, b_8, b_9$): $S_3 = b_7 + b_8 + b_9 = b_1q^6 + b_1q^7 + b_1q^8 = b_1q^6(1 + q + q^2)$.

Чтобы доказать, что последовательность $S_1, S_2, S_3$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение каждого последующего члена к предыдущему является постоянной величиной, то есть $\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_3}{S_2}$.

Найдем эти отношения. Будем считать, что $S_1 \neq 0$ и $S_2 \neq 0$. Если $S_1=0$, то либо $b_1=0$, либо $1+q+q^2=0$. В обоих случаях $S_1=S_2=S_3=0$, и последовательность $0, 0, 0$ является тривиальной геометрической прогрессией.

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = q^3$.

$\frac{S_3}{S_2} = \frac{b_1q^6(1 + q + q^2)}{b_1q^3(1 + q + q^2)} = \frac{q^6}{q^3} = q^3$.

Поскольку отношения равны ($\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_3}{S_2} = q^3$), последовательность $S_1, S_2, S_3$ является геометрической прогрессией со знаменателем $Q = q^3$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По условию, сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, а сумма следующих трёх членов равна 48. В обозначениях из пункта 1, это означает: $S_1 = 192$. $S_2 = 48$.

Как было доказано в пункте 1, последовательность сумм $S_1, S_2, S_3, \dots$ является геометрической прогрессией. Найдем её знаменатель $Q$: $Q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$.

а)

Требуется найти сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно. Эта сумма является третьим членом последовательности $S_k$, то есть $S_3$.

Поскольку $S_1, S_2, S_3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $Q = \frac{1}{4}$, мы можем найти $S_3$: $S_3 = S_2 \cdot Q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$.

Ответ: 12.

б)

Требуется найти сумму первых двенадцати членов этой прогрессии. Эту сумму можно представить как сумму первых четырех членов последовательности $S_k$: $\Sigma_{12} = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6) + (b_7 + b_8 + b_9) + (b_{10} + b_{11} + b_{12}) = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$.

Мы уже знаем $S_1 = 192$, $S_2 = 48$ и $S_3 = 12$. Найдем $S_4$. Так как $S_k$ — это геометрическая прогрессия, то $S_4$ можно найти, умножив $S_3$ на знаменатель $Q$: $S_4 = S_3 \cdot Q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$.

Теперь вычислим сумму первых двенадцати членов: $\Sigma_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 192 + 48 + 12 + 3 = 255$.

Ответ: 255.

731 Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от её номинальной стоимости.

a) Какой доход получит акционер за 1 год; за 3 года; за 10 лет; за $n$ лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдёт удвоенную стоимость акций?

а) Для начала найдем общий ежегодный доход акционера. Доход с одной акции в год составляет 40% от ее номинальной стоимости 50 р.:
$50 \times \frac{40}{100} = 50 \times 0.4 = 20 \text{ р.}$
Поскольку у акционера 100 акций, его общий ежегодный доход равен:
$100 \text{ акций} \times 20 \text{ р./акцию} = 2000 \text{ р.}$

Теперь рассчитаем доход за разные периоды, умножая ежегодный доход на количество лет:
• Доход за 1 год: $2000 \text{ р.}$
• Доход за 3 года: $2000 \text{ р.} \times 3 = 6000 \text{ р.}$
• Доход за 10 лет: $2000 \text{ р.} \times 10 = 20000 \text{ р.}$
• Доход за n лет: $2000n \text{ р.}$

Ответ: за 1 год — 2000 р.; за 3 года — 6000 р.; за 10 лет — 20000 р.; за n лет — $2000n$ р.

б) Сначала определим удвоенную стоимость акций.
Общая номинальная стоимость всех акций:
$100 \text{ акций} \times 50 \text{ р./акцию} = 5000 \text{ р.}$
Удвоенная стоимость акций:
$5000 \text{ р.} \times 2 = 10000 \text{ р.}$

Теперь найдем, через сколько лет $n$ общий доход превзойдет эту сумму. Общий доход за $n$ лет равен $2000n$ (из пункта а). Составим и решим неравенство:
$2000n > 10000$
Разделим обе части неравенства на 2000:
$n > \frac{10000}{2000}$
$n > 5$

Так как доход выплачивается ежегодно, количество лет $n$ должно быть целым числом. Наименьшее целое число, которое больше 5, — это 6. Следовательно, через 6 лет общий доход акционера превысит удвоенную стоимость его акций.

Ответ: через 6 лет.

732 В некоторой стране X инфляция (повышение цен, ведущее к обесцениванию денег) составляет примерно 3% в год. Вычислите, сколько будет через 7 лет стоить диван, который сейчас стоит 300 марок, если его цена повышается соответственно инфляции.

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Цена дивана каждый год увеличивается на 3%, и эта новая цена становится базой для расчета повышения в следующем году. Формула для расчета будущей стоимости выглядит так:

$S_n = S_0 \cdot (1 + p)^n$

где:

• $S_n$ — будущая стоимость товара через $n$ лет;
• $S_0$ — начальная стоимость товара;
• $p$ — годовой процент инфляции, выраженный в виде десятичной дроби;
• $n$ — количество лет.

В условиях задачи нам дано:

• Начальная стоимость дивана $S_0 = 300$ марок.
• Годовая инфляция составляет $3\%$, следовательно, $p = \frac{3}{100} = 0,03$.
• Срок $n = 7$ лет.

Подставим эти значения в формулу:

$S_7 = 300 \cdot (1 + 0,03)^7$

Выполним вычисления:

$S_7 = 300 \cdot (1,03)^7$

Сначала возведем $1,03$ в седьмую степень:

$(1,03)^7 \approx 1,22987386$

Теперь умножим результат на начальную стоимость:

$S_7 \approx 300 \cdot 1,22987386 \approx 368,962158$

Округлим полученное значение до двух знаков после запятой, так как речь идет о денежной единице.

$S_7 \approx 368,96$ марок.

Ответ: Через 7 лет диван будет стоить примерно 368,96 марок.

733 В 2010 г. в центральном районе города проживало 30 тыс. человек, а в новом районе — 10 тыс. человек. В течение следующих пяти лет число жителей центрального района ежегодно уменьшалось примерно на 8%, а число жителей нового района росло примерно на 30%.

а) Запишите в таблицу число жителей в центральном и в новом районах в каждом году с 2010-го по 2015-й. В каком году число жителей нового района превысило число жителей центрального района?

б) Какой процент составило население центрального района от населения нового района в 2015 г.?

а) Запишите в таблицу число жителей в центральном и в новом районах в каждом году с 2010-го по 2015-й. В каком году число жителей нового района превысило число жителей центрального района?

Для решения задачи определим коэффициенты изменения численности населения. Ежегодное уменьшение числа жителей центрального района на 8% означает, что каждый год число жителей составляет $100\% - 8\% = 92\%$ от предыдущего года. Это соответствует умножению на коэффициент $k_Ц = 0.92$. Ежегодный рост числа жителей нового района на 30% означает, что каждый год число жителей составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от предыдущего года. Это соответствует умножению на коэффициент $k_Н = 1.3$.

Исходные данные на 2010 год:

• Центральный район: 30 тыс. человек.
• Новый район: 10 тыс. человек.

Рассчитаем численность населения (в тыс. человек) для каждого последующего года, используя формулу сложного процента $P_n = P_0 \cdot k^n$, где $P_0$ — начальная численность, $k$ — коэффициент изменения, $n$ — количество лет, прошедших с 2010 года.

Расчеты для Центрального района:

• 2011: $30 \cdot 0.92^1 = 27.6$ тыс.
• 2012: $30 \cdot 0.92^2 = 25.392$ тыс.
• 2013: $30 \cdot 0.92^3 \approx 23.361$ тыс.
• 2014: $30 \cdot 0.92^4 \approx 21.492$ тыс.
• 2015: $30 \cdot 0.92^5 \approx 19.772$ тыс.

Расчеты для Нового района:

• 2011: $10 \cdot 1.3^1 = 13$ тыс.
• 2012: $10 \cdot 1.3^2 = 16.9$ тыс.
• 2013: $10 \cdot 1.3^3 = 21.97$ тыс.
• 2014: $10 \cdot 1.3^4 = 28.561$ тыс.
• 2015: $10 \cdot 1.3^5 \approx 37.129$ тыс.

Теперь представим результаты в виде таблицы (значения в тыс. человек):

Сравнивая данные по годам, видим, что в 2013 году население центрального района (23.361 тыс.) еще было больше населения нового (21.970 тыс.). В 2014 году население нового района (28.561 тыс.) впервые превысило население центрального (21.492 тыс.).

Ответ: Таблица с данными о численности населения представлена выше. Число жителей нового района превысило число жителей центрального района в 2014 году.

б) Какой процент составило население центрального района от населения нового района в 2015 г.?

Для нахождения процентного соотношения воспользуемся данными за 2015 год:

• Население центрального района: $19.772$ тыс. человек.
• Население нового района: $37.129$ тыс. человек.

Чтобы найти, какой процент составляет население центрального района от населения нового, необходимо разделить численность населения центрального района на численность населения нового района и умножить полученное значение на 100%.

Выполним расчет: $(\frac{19.772}{37.129}) \cdot 100\% \approx 0.5325 \cdot 100\% = 53.25\%$

Округлив до десятых, получаем 53.3%.

Ответ: В 2015 году население центрального района составило примерно 53.3% от населения нового района.