Номер 729, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 729, страница 282.

729 В геометрической прогрессии $(b_n)$ сумма первого, второго и третьего членов равна 42, а сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21. Найдите сумму этих четырёх членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.По условию задачи, сумма первого, второго и третьего членов равна 42. Запишем это в виде уравнения:$b_1 + b_2 + b_3 = 42$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, перепишем уравнение:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = 42$ (1)

Также по условию, сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21:$b_2 + b_3 + b_4 = 21$

Перепишем это уравнение через $b_1$ и $q$:$b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = 21$Вынесем $b_1q$ за скобки:$b_1q(1 + q + q^2) = 21$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases}b_1(1 + q + q^2) = 42 \\b_1q(1 + q + q^2) = 21\end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это возможно, так как сумма членов не равна нулю, значит и $b_1(1+q+q^2) \ne 0$.$\frac{b_1q(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{21}{42}$

Сократив общие множители, получим значение знаменателя прогрессии $q$:$q = \frac{1}{2}$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение:$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 42$$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 42$$b_1(\frac{4+2+1}{4}) = 42$$b_1(\frac{7}{4}) = 42$$b_1 = 42 \cdot \frac{4}{7}$$b_1 = 6 \cdot 4 = 24$

Нам нужно найти сумму этих четырёх членов, то есть $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4$.Эту сумму можно представить как сумму первого члена и суммы второго, третьего и четвертого членов:$S_4 = b_1 + (b_2 + b_3 + b_4)$

Мы знаем, что $b_1 = 24$ и по условию $b_2 + b_3 + b_4 = 21$.Следовательно:$S_4 = 24 + 21 = 45$

Также можно было найти $S_4$ другим способом:$S_4 = (b_1 + b_2 + b_3) + b_4$По условию $b_1 + b_2 + b_3 = 42$.Найдем четвертый член прогрессии: $b_4 = b_1q^3 = 24 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3$.$S_4 = 42 + 3 = 45$Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 45