Номер 730, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 730, страница 282.

730 1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов геометрической прогрессии $(b_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1$, $S_2$, $S_3$ также является геометрической прогрессией.

2) Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, сумма следующих её трёх членов равна 48. Найдите:

a) сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно;

б) сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

1)

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда n-й член прогрессии задается формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Запишем выражения для сумм $S_1, S_2$ и $S_3$.

$S_1$ — это сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$): $S_1 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$.

$S_2$ — это сумма второй тройки членов прогрессии ($b_4, b_5, b_6$): $S_2 = b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = b_1q^3(1 + q + q^2)$.

$S_3$ — это сумма третьей тройки членов прогрессии ($b_7, b_8, b_9$): $S_3 = b_7 + b_8 + b_9 = b_1q^6 + b_1q^7 + b_1q^8 = b_1q^6(1 + q + q^2)$.

Чтобы доказать, что последовательность $S_1, S_2, S_3$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение каждого последующего члена к предыдущему является постоянной величиной, то есть $\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_3}{S_2}$.

Найдем эти отношения. Будем считать, что $S_1 \neq 0$ и $S_2 \neq 0$. Если $S_1=0$, то либо $b_1=0$, либо $1+q+q^2=0$. В обоих случаях $S_1=S_2=S_3=0$, и последовательность $0, 0, 0$ является тривиальной геометрической прогрессией.

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = q^3$.

$\frac{S_3}{S_2} = \frac{b_1q^6(1 + q + q^2)}{b_1q^3(1 + q + q^2)} = \frac{q^6}{q^3} = q^3$.

Поскольку отношения равны ($\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_3}{S_2} = q^3$), последовательность $S_1, S_2, S_3$ является геометрической прогрессией со знаменателем $Q = q^3$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По условию, сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, а сумма следующих трёх членов равна 48. В обозначениях из пункта 1, это означает: $S_1 = 192$. $S_2 = 48$.

Как было доказано в пункте 1, последовательность сумм $S_1, S_2, S_3, \dots$ является геометрической прогрессией. Найдем её знаменатель $Q$: $Q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$.

а)

Требуется найти сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно. Эта сумма является третьим членом последовательности $S_k$, то есть $S_3$.

Поскольку $S_1, S_2, S_3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $Q = \frac{1}{4}$, мы можем найти $S_3$: $S_3 = S_2 \cdot Q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$.

Ответ: 12.

б)

Требуется найти сумму первых двенадцати членов этой прогрессии. Эту сумму можно представить как сумму первых четырех членов последовательности $S_k$: $\Sigma_{12} = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6) + (b_7 + b_8 + b_9) + (b_{10} + b_{11} + b_{12}) = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$.

Мы уже знаем $S_1 = 192$, $S_2 = 48$ и $S_3 = 12$. Найдем $S_4$. Так как $S_k$ — это геометрическая прогрессия, то $S_4$ можно найти, умножив $S_3$ на знаменатель $Q$: $S_4 = S_3 \cdot Q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$.

Теперь вычислим сумму первых двенадцати членов: $\Sigma_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 192 + 48 + 12 + 3 = 255$.

Ответ: 255.