Номер 734, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 734, страница 283.

734 a) В библиотечном фонде к началу года было примерно 10 тыс. книг. Ежемесячно количество книг увеличивалось на $3\%$ по сравнению с предыдущим месяцем. Сколько книг стало в библиотечном фонде через год (ответ округлите до тысяч)? На сколько процентов увеличился фонд к концу года?

б) По туристическому накопительному вкладу банк ежемесячно начисляет $2\%$. На вклад внесена некоторая сумма и оставлена в банке на год. Определите, сколько процентов будет начислено на этот вклад за год.

Указание. Обозначьте величину вклада какой-нибудь буквой.

a)

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов. Здесь процентное увеличение происходит каждый месяц от новой, уже увеличенной суммы.

1. Сначала найдем, сколько книг станет в фонде через год.
Начальное количество книг: $S_0 = 10000$.
Ежемесячное увеличение: $p = 3\% = 0.03$.
Период: 1 год = 12 месяцев.
Количество книг через 12 месяцев ($S_{12}$) вычисляется по формуле:
$S_{12} = S_0 \cdot (1 + p)^{12}$
$S_{12} = 10000 \cdot (1 + 0.03)^{12} = 10000 \cdot (1.03)^{12}$
Вычислим значение $(1.03)^{12}$:
$(1.03)^{12} \approx 1.42576088$
Теперь найдем итоговое количество книг:
$S_{12} \approx 10000 \cdot 1.42576088 = 14257.6088$ книг.
По условию, ответ нужно округлить до тысяч. Число 14257.6 ближе к 14000, чем к 15000. Таким образом, в фонде стало примерно 14 тысяч книг.

2. Теперь найдем, на сколько процентов увеличился фонд за год.
Абсолютное увеличение фонда составляет:
$\Delta S = S_{12} - S_0 \approx 14257.6 - 10000 = 4257.6$ книг.
Процентное увеличение равно отношению абсолютного увеличения к начальному количеству, умноженному на 100%:
$\text{Процентное увеличение} = \frac{\Delta S}{S_0} \cdot 100\% \approx \frac{4257.6}{10000} \cdot 100\% = 42.576\%$.
Этот же результат можно получить, зная годовой множитель:
$((1.03)^{12} - 1) \cdot 100\% \approx (1.42576 - 1) \cdot 100\% = 0.42576 \cdot 100\% = 42.576\%$.
Округлим до десятых долей процента: $42.6\%$.
Ответ: через год в библиотечном фонде стало примерно 14 тыс. книг, а сам фонд увеличился на 42.6%.

б)

Эта задача также на вычисление сложных процентов. Нам нужно найти общий процент, начисленный за год, при ежемесячном начислении 2%.

Согласно указанию, обозначим начальную величину вклада буквой $S$.
Ежемесячно сумма на вкладе увеличивается на 2%, то есть умножается на коэффициент: $1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Поскольку проценты начисляются ежемесячно в течение года (12 месяцев), итоговая сумма $S_{12}$ через год будет равна:
$S_{12} = S \cdot (1.02)^{12}$

Чтобы найти, сколько процентов было начислено за год, нужно рассчитать, на сколько процентов конечная сумма $S_{12}$ превышает начальную $S$.
Процентное увеличение за год вычисляется по формуле:
$\text{Процент} = \frac{S_{12} - S}{S} \cdot 100\%$.
Подставим выражение для $S_{12}$:
$\text{Процент} = \frac{S \cdot (1.02)^{12} - S}{S} \cdot 100\% = \frac{S \cdot ((1.02)^{12} - 1)}{S} \cdot 100\% = ((1.02)^{12} - 1) \cdot 100\%$.
Как видим, результат не зависит от первоначального размера вклада $S$.

Теперь вычислим значение:
$(1.02)^{12} \approx 1.26824179$.
Находим итоговый процент:
$(1.26824179 - 1) \cdot 100\% = 0.26824179 \cdot 100\% = 26.824179\%$.
Округлим результат до сотых долей процента: $26.82\%$.
Ответ: за год на вклад будет начислено примерно 26.82%.