Номер 735, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 735, страница 283.

735 a) При уценке холодильника его цена дважды понижалась на одно и то же число процентов. В результате она снизилась на 36%. На сколько процентов она понижалась каждый раз?

б) Цена компьютера сначала была повышена на некоторое количество процентов, а затем снижена на такое же количество процентов. Определите, на сколько процентов была повышена, а затем снижена цена компьютера, если в результате она снизилась на 1%.

а)

Пусть первоначальная цена холодильника равна $C$, а процент, на который цена понижалась каждый раз, равен $x\%$.

При понижении цены на $x\%$ от нее остается $(100 - x)\%$, что в виде десятичной дроби равно $(1 - \frac{x}{100})$.

После первого понижения цена стала $C_1 = C \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

После второго понижения цена стала $C_2 = C_1 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = C \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = C \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$.

По условию, в результате двух понижений цена снизилась на $36\%$. Это означает, что итоговая цена составила $100\% - 36\% = 64\%$ от первоначальной.

Таким образом, конечная цена $C_2$ равна $C \cdot \frac{64}{100} = 0.64 \cdot C$.

Теперь мы можем составить и решить уравнение, приравняв два выражения для $C_2$:

$C \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 0.64 \cdot C$

Разделим обе части уравнения на $C$ (так как первоначальная цена не равна нулю):

$(1 - \frac{x}{100})^2 = 0.64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $x$ - это процент снижения, то $x < 100$, и выражение в скобках положительно.

$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{0.64}$

$1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Найдем $x$:

$\frac{x}{100} = 1 - 0.8$

$\frac{x}{100} = 0.2$

$x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Следовательно, цена каждый раз понижалась на $20\%$.

Ответ: на $20\%$.

б)

Пусть первоначальная цена компьютера равна $C$, а процент, на который цена сначала была повышена, а затем снижена, равен $x\%$.

После повышения цены на $x\%$ она стала равна $C_1 = C \cdot (1 + \frac{x}{100})$.

Затем новая цена $C_1$ была снижена на $x\%$. Конечная цена стала $C_2 = C_1 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

Подставим выражение для $C_1$ в формулу для $C_2$:

$C_2 = C \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100})$

Используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$C_2 = C \cdot (1^2 - (\frac{x}{100})^2) = C \cdot (1 - \frac{x^2}{10000})$

По условию, в результате цена снизилась на $1\%$. Это значит, что конечная цена составила $100\% - 1\% = 99\%$ от первоначальной.

$C_2 = C \cdot \frac{99}{100} = 0.99 \cdot C$

Приравняем два выражения для $C_2$ и решим уравнение:

$C \cdot (1 - \frac{x^2}{10000}) = 0.99 \cdot C$

Разделим обе части на $C$:

$1 - \frac{x^2}{10000} = 0.99$

Выразим член с $x$:

$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.99$

$\frac{x^2}{10000} = 0.01$

$x^2 = 0.01 \cdot 10000$

$x^2 = 100$

$x = \sqrt{100} = 10$ (берем положительное значение, так как $x$ - это процент).

Следовательно, цена была повышена, а затем снижена на $10\%$.

Ответ: на $10\%$.