Номер 13, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 13, страница 288.

13 В геометрической прогрессии $b_1 = 10^{-5}$, $q = 10$. Укажите номера членов прогрессии, для которых выполняется неравенство $0,01 < b_n < 10$.

1) $n = 5; 6$

2) $n = 4; 5; 6; 7$

3) $n = 4; 5; 6$

4) $n = 5; 6; 7$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, первый член прогрессии $b_1 = 10^{-5}$ и знаменатель $q = 10$. Подставим эти значения в формулу:
$b_n = 10^{-5} \cdot 10^{n-1}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), поэтому:
$b_n = 10^{-5 + (n-1)} = 10^{n-6}$.

Теперь подставим полученное выражение для $b_n$ в заданное неравенство $0,01 < b_n < 10$:
$0,01 < 10^{n-6} < 10$.

Чтобы решить это показательное неравенство, представим все его части в виде степеней с основанием 10:
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$;
$10 = 10^1$.

Таким образом, неравенство принимает вид:
$10^{-2} < 10^{n-6} < 10^1$.

Поскольку основание степени (10) больше 1, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки неравенства:
$-2 < n-6 < 1$.

Для того чтобы найти $n$, прибавим 6 ко всем частям этого двойного неравенства:
$-2 + 6 < n - 6 + 6 < 1 + 6$
$4 < n < 7$.

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом. Единственные натуральные числа, удовлетворяющие условию $4 < n < 7$, это 5 и 6.

Таким образом, искомые номера членов прогрессии — это $n=5$ и $n=6$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1