Номер 14, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 14, страница 288.

14 Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями: $b_1 = 3$, $b_{n+1} = 2b_n$.

Какое из следующих равенств является формулой n-го члена этой последовательности?

1) $b_n = 3 \cdot 2n$

2) $b_n = 3 \cdot 2^n$

3) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

4) $b_n = 3 \cdot 2(n-1)$

В задаче речь идет о геометрической прогрессии $(b_n)$, которая задана следующими условиями:
- Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.
- Рекуррентная формула для последующих членов: $b_{n+1} = 2b_n$.

Рекуррентная формула $b_{n+1} = 2b_n$ показывает, что каждый следующий член прогрессии в 2 раза больше предыдущего. Это по определению означает, что знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 2.

Общая формула для нахождения $n$-го члена любой геометрической прогрессии выглядит так:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Теперь подставим в эту общую формулу известные нам значения для данной прогрессии: $b_1 = 3$ и $q = 2$.
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Полученная нами формула $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Для дополнительной проверки можно подставить $n=1$ и $n=2$ в каждый из предложенных вариантов и сравнить с тем, что должно получиться по условию.
Мы знаем, что $b_1 = 3$.
Найдем $b_2$: $b_2 = 2 \cdot b_1 = 2 \cdot 3 = 6$.

1) $b_n = 3 \cdot 2n$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Это не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

2) $b_n = 3 \cdot 2^n$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$. Это также не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

3) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Это соответствует условию.
При $n=2$: $b_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$. Это также соответствует вычисленному значению. Вариант верный.

4) $b_n = 3 \cdot 2(n-1)$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2(1-1) = 3 \cdot 0 = 0$. Это не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

Таким образом, единственная верная формула для $n$-го члена этой последовательности представлена в варианте 3.
Ответ: 3