Номер 7, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 7, страница 288.

7 Какая из следующих последовательностей не является геометрической прогрессией?

1) последовательность, в которой каждый следующий член в $3$ раза больше предыдущего

2) последовательность, в которой каждый следующий член в $3$ раза меньше предыдущего

3) последовательность чисел, кратных $3$

4) последовательность натуральных степеней числа $3$

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Иными словами, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это означает, что отношение любого члена к предыдущему должно быть постоянным: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Проанализируем каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) последовательность, в которой каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего

Это условие можно записать в виде формулы $b_{n+1} = 3 \cdot b_n$. Такое соотношение полностью соответствует определению геометрической прогрессии со знаменателем $q = 3$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

2) последовательность, в которой каждый следующий член в 3 раза меньше предыдущего

Условие "в 3 раза меньше" означает деление на 3, что можно записать как $b_{n+1} = \frac{b_n}{3}$ или $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{3}$. Это также полностью соответствует определению геометрической прогрессии, знаменатель которой равен $q = \frac{1}{3}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

3) последовательность чисел, кратных 3

Последовательность чисел, кратных 3, представляет собой ряд чисел, делящихся на 3 без остатка. Запишем несколько первых членов этой последовательности в порядке их возрастания: $3, 6, 9, 12, 15, \dots$.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами:

Отношение второго члена к первому: $\frac{6}{3} = 2$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{9}{6} = 1.5$.

Так как полученные отношения не равны ($2 \neq 1.5$), знаменатель не является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией. (Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=3$).

4) последовательность натуральных степеней числа 3

Эта последовательность состоит из членов вида $3^n$, где $n$ — натуральное число ($1, 2, 3, \dots$). Запишем её: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots$ или $3, 9, 27, 81, \dots$.

Проверим отношение между соседними членами:

$\frac{9}{3} = 3$; $\frac{27}{9} = 3$.

В общем виде, для любого члена $b_n = 3^n$ и следующего за ним $b_{n+1} = 3^{n+1}$, их отношение постоянно: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$. Знаменатель $q=3$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность из предложенных, которая не является геометрической, — это последовательность чисел, кратных 3.

Ответ: 3