Номер 5, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 5, страница 287.

5 Для каждой из последовательностей $(x_n)$, $(y_n)$ и $(z_n)$, заданных рекуррентным способом, укажите верное утверждение.

А) $x_1 = 3$, $x_{n+1} = 2x_n$

Б) $z_1 = 3$, $z_{n+1} = 2 - z_n$

В) $y_1 = 3$, $y_{n+1} = y_n + 2$

1) эта последовательность — арифметическая прогрессия

2) эта последовательность — геометрическая прогрессия

3) эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией

А) Для последовательности $(x_n)$, заданной как $x_1 = 3$ и $x_{n+1} = 2x_n$, мы видим, что каждый последующий член получается путем умножения предыдущего на постоянное число 2. Это определение геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии $q=2$. Давайте вычислим первые несколько членов, чтобы убедиться: $x_1=3$, $x_2=2 \cdot 3 = 6$, $x_3=2 \cdot 6 = 12$. Отношение последовательных членов постоянно: $x_2/x_1 = 6/3=2$ и $x_3/x_2 = 12/6=2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией. Это соответствует утверждению 2.
Ответ: 2

Б) Для последовательности $(z_n)$, заданной как $z_1 = 3$ и $z_{n+1} = 2 - z_n$, вычислим первые несколько членов:
$z_1 = 3$
$z_2 = 2 - z_1 = 2 - 3 = -1$
$z_3 = 2 - z_2 = 2 - (-1) = 3$
$z_4 = 2 - z_3 = 2 - 3 = -1$
Последовательность представляет собой чередующиеся числа: 3, -1, 3, -1, ...
Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность между последовательными членами:
$d_1 = z_2 - z_1 = -1 - 3 = -4$
$d_2 = z_3 - z_2 = 3 - (-1) = 4$
Так как $d_1 \neq d_2$, это не арифметическая прогрессия.
Проверим, является ли она геометрической прогрессией, вычислив отношение последовательных членов:
$q_1 = z_2 / z_1 = -1 / 3$
$q_2 = z_3 / z_2 = 3 / (-1) = -3$
Так как $q_1 \neq q_2$, это не геометрическая прогрессия.
Таким образом, эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Это соответствует утверждению 3.
Ответ: 3

В) Для последовательности $(y_n)$, заданной как $y_1 = 3$ и $y_{n+1} = y_n + 2$, мы видим, что каждый последующий член получается путем прибавления к предыдущему постоянного числа 2. Это определение арифметической прогрессии. Разность этой прогрессии $d=2$. Давайте вычислим первые несколько членов: $y_1=3$, $y_2=3+2=5$, $y_3=5+2=7$. Разность последовательных членов постоянна: $y_2 - y_1 = 5-3=2$ и $y_3 - y_2 = 7-5=2$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией. Это соответствует утверждению 1.
Ответ: 1