Номер 642, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 642, страница 252.

642 МОДЕЛИРУЕМ Андрей и Борис, готовясь к зачёту по английскому языку, каждый день с понедельника по пятницу выписывали слова из словаря. Андрей ежедневно увеличивал число выписываемых слов в геометрической прогрессии, а Борис — в арифметической.

a) Закончите заполнение таблицы, записав в соответствующие строки число слов, выписанных Андреем и Борисом в каждый из пяти дней.

День недели	1	2	3	4	5
Андрей	16	24	36	54	81
Борис	16	24	32	40	48

б) Отметьте члены полученных последовательностей точками на координатной плоскости. Точки какой последовательности лежат на прямой, а какой — на экспоненте?

а)

Андрей увеличивал число выписываемых слов в геометрической прогрессии. Обозначим члены этой последовательности $b_n$, где $n$ — номер дня. Из условия, $b_1 = 16$ и $b_2 = 24$.Найдем знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{16} = 1.5$Вычислим последующие члены прогрессии, умножая предыдущий член на $q$:$b_3 = b_2 \cdot q = 24 \cdot 1.5 = 36$$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot 1.5 = 54$$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 1.5 = 81$Таким образом, Андрей выписывал 16, 24, 36, 54 и 81 слово.

Борис увеличивал число выписываемых слов в арифметической прогрессии. Обозначим члены этой последовательности $a_n$. Из условия, $a_1 = 16$ и $a_2 = 24$.Найдем разность прогрессии $d$:$d = a_2 - a_1 = 24 - 16 = 8$Вычислим последующие члены прогрессии, прибавляя к предыдущему члену $d$:$a_3 = a_2 + d = 24 + 8 = 32$$a_4 = a_3 + d = 32 + 8 = 40$$a_5 = a_4 + d = 40 + 8 = 48$Таким образом, Борис выписывал 16, 24, 32, 40 и 48 слов.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ:

День недели	1	2	3	4	5
Андрей	16	24	36	54	81
Борис	16	24	32	40	48

б)

Чтобы определить, какая последовательность лежит на прямой, а какая на экспоненте, рассмотрим зависимость количества слов ($y$) от номера дня ($x$).

Последовательность Бориса является арифметической прогрессией. Формула ее n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив значения для Бориса, получаем: $y = 16 + (x-1) \cdot 8 = 16 + 8x - 8 = 8x + 8$. Это линейная функция вида $y=kx+b$. Точки, заданные такой функцией, лежат на одной прямой.

Последовательность Андрея является геометрической прогрессией. Формула ее n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив значения для Андрея, получаем: $y = 16 \cdot (1.5)^{x-1}$. Это экспоненциальная (показательная) функция вида $y=c \cdot a^k$. Точки, заданные такой функцией, лежат на кривой, которая называется экспонентой.

Ответ: Точки последовательности Бориса лежат на прямой, а точки последовательности Андрея — на экспоненте.