Номер 636, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 636, страница 245.

636 Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, кратных 5, надо сложить, чтобы получить сумму, большую 275? большую 330?

большую 275?

Последовательные натуральные числа, кратные 5, представляют собой арифметическую прогрессию: 5, 10, 15, 20, ... Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а разность прогрессии $d = 5$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставив наши значения $a_1=5$ и $d=5$, получим формулу для суммы первых $n$ натуральных чисел, кратных 5: $S_n = \frac{2 \cdot 5 + 5(n-1)}{2} \cdot n = \frac{10 + 5n - 5}{2} \cdot n = \frac{5n + 5}{2} \cdot n = \frac{5n(n+1)}{2}$

Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, при котором сумма $S_n$ будет строго больше 275. Составим и решим неравенство: $S_n > 275$ $\frac{5n(n+1)}{2} > 275$

Умножим обе части на 2 и разделим на 5: $n(n+1) > \frac{275 \cdot 2}{5}$ $n(n+1) > 110$

Это неравенство можно переписать в виде $n^2 + n - 110 > 0$. Чтобы решить его, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + n - 110 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $n_1 = -11$ и $n_2 = 10$. Парабола $y = n^2 + n - 110$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 + n - 110 > 0$ выполняется при $n < -11$ или $n > 10$. Так как $n$ (количество членов) должно быть натуральным числом, нас интересует условие $n > 10$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 11.

Проверка: При $n=10$, сумма $S_{10} = \frac{5 \cdot 10 \cdot (10+1)}{2} = \frac{550}{2} = 275$. Это не больше 275. При $n=11$, сумма $S_{11} = \frac{5 \cdot 11 \cdot (11+1)}{2} = \frac{55 \cdot 12}{2} = 330$. Это больше 275.

Ответ: 11.

большую 330?

Используем ту же формулу для суммы $S_n = \frac{5n(n+1)}{2}$. Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, при котором сумма $S_n$ будет строго больше 330. Составим и решим неравенство: $S_n > 330$ $\frac{5n(n+1)}{2} > 330$

Умножим обе части на 2 и разделим на 5: $n(n+1) > \frac{330 \cdot 2}{5}$ $n(n+1) > 132$

Перепишем неравенство в виде $n^2 + n - 132 > 0$. Найдем корни уравнения $n^2 + n - 132 = 0$. Корни уравнения: $n_1 = -12$ и $n_2 = 11$. Неравенство $n^2 + n - 132 > 0$ выполняется при $n < -12$ или $n > 11$. Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, выбираем условие $n > 11$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 12.

Проверка: При $n=11$, сумма $S_{11} = \frac{5 \cdot 11 \cdot (11+1)}{2} = \frac{55 \cdot 12}{2} = 330$. Это не больше 330. При $n=12$, сумма $S_{12} = \frac{5 \cdot 12 \cdot (12+1)}{2} = \frac{60 \cdot 13}{2} = 390$. Это больше 330.

Ответ: 12.