Номер 630, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 630, страница 245.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (630–631)

630 Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км в день. Каждую неделю он решил увеличивать эту дистанцию в арифметической прогрессии так, чтобы в одиннадцатую неделю пробегать 4 км в день. На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно? Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?

На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно?

Ежедневная дистанция, которую пробегает Игорь, увеличивается каждую неделю на одну и ту же величину. Это означает, что ежедневные дистанции для каждой недели ($a_n$) образуют арифметическую прогрессию.

Из условия задачи нам известны следующие параметры этой прогрессии:
- Дистанция в первую неделю (первый член прогрессии): $a_1 = 2$ км.
- Дистанция в одиннадцатую неделю (одиннадцатый член прогрессии): $a_{11} = 4$ км.
- Общее количество недель (число членов прогрессии): $n = 11$.

Величина, на которую нужно увеличивать дистанцию еженедельно, — это разность арифметической прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Подставим известные нам значения для $n=11$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d$
$4 = 2 + 10d$
Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$10d = 4 - 2$
$10d = 2$
$d = \frac{2}{10} = 0.2$ км.
Таким образом, еженедельное увеличение дистанции составляет 0,2 км, что равно 200 метрам.

Ответ: ему надо увеличивать дистанцию на 0,2 км еженедельно.

Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?

Чтобы найти общее расстояние за 11 недель, необходимо вычислить, сколько километров Игорь пробегает в каждую из 11 недель, и сложить эти значения. Поскольку тренировки ежедневные, дистанцию за каждую неделю мы получаем, умножая ежедневную дистанцию этой недели на 7.

Общее расстояние $S_{общ}$ можно найти как сумму дистанций за каждую неделю:
$S_{общ} = (a_1 \cdot 7) + (a_2 \cdot 7) + \dots + (a_{11} \cdot 7) = 7 \cdot (a_1 + a_2 + \dots + a_{11})$
Выражение в скобках представляет собой сумму первых 11 членов нашей арифметической прогрессии ($S_{11}$).

Найдем $S_{11}$ по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши данные:
$S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 = \frac{2 + 4}{2} \cdot 11 = \frac{6}{2} \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.
Это сумма ежедневных дистанций (если взять по одному дню из каждой недели).

Теперь, зная $S_{11}$, мы можем вычислить общее расстояние за 11 недель, умножив эту сумму на 7 дней:
$S_{общ} = S_{11} \cdot 7 = 33 \cdot 7 = 231$ км.

Ответ: за 11 недель он пробежит всего 231 километр.