Номер 624, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 624, страница 243.

624 Найдите сумму:

а) чётных чисел от 30 до 98;

б) нечётных чисел от 15 до 85.

а) чётных чисел от 30 до 98;

Последовательность чётных чисел от 30 до 98 (включительно) представляет собой арифметическую прогрессию: 30, 32, 34, ..., 98.

Параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
• Последний член прогрессии $a_n = 98$.
• Разность прогрессии $d = 2$, так как мы рассматриваем последовательные чётные числа.

Сначала найдём количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:

$98 = 30 + (n-1) \cdot 2$

Решим уравнение относительно $n$:

$98 - 30 = 2(n-1)$

$68 = 2(n-1)$

$n-1 = \frac{68}{2}$

$n-1 = 34$

$n = 35$

Итак, в данной последовательности 35 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35$

$S_{35} = \frac{128}{2} \cdot 35$

$S_{35} = 64 \cdot 35$

$S_{35} = 2240$

Ответ: 2240

б) нечётных чисел от 15 до 85.

Последовательность нечётных чисел от 15 до 85 (включительно) также является арифметической прогрессией: 15, 17, 19, ..., 85.

Параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
• Последний член прогрессии $a_n = 85$.
• Разность прогрессии $d = 2$, так как мы рассматриваем последовательные нечётные числа.

Сначала найдём количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$85 = 15 + (n-1) \cdot 2$

Решим уравнение относительно $n$:

$85 - 15 = 2(n-1)$

$70 = 2(n-1)$

$n-1 = \frac{70}{2}$

$n-1 = 35$

$n = 36$

Итак, в данной последовательности 36 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36$

$S_{36} = \frac{100}{2} \cdot 36$

$S_{36} = 50 \cdot 36$

$S_{36} = 1800$

Ответ: 1800