Номер 621, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 621, страница 243.

ВЫБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (621–622)

621 Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 5$.

Найдите:

а) $S_{10}$;

б) $S_{20}$;

в) $S_n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Арифметическая прогрессия задана формулой $n$-го члена $a_n = 3n + 5$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$ в эту формулу:

$a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8$.

а) Найдем сумму первых 10 членов, $S_{10}$.

Сначала найдем 10-й член прогрессии $a_{10}$:

$a_{10} = 3 \cdot 10 + 5 = 30 + 5 = 35$.

Теперь вычислим сумму, подставив $n=10$, $a_1=8$ и $a_{10}=35$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 35}{2} \cdot 10 = \frac{43}{2} \cdot 10 = 43 \cdot 5 = 215$.

Ответ: $S_{10} = 215$.

б) Найдем сумму первых 20 членов, $S_{20}$.

Сначала найдем 20-й член прогрессии $a_{20}$:

$a_{20} = 3 \cdot 20 + 5 = 60 + 5 = 65$.

Теперь вычислим сумму, подставив $n=20$, $a_1=8$ и $a_{20}=65$ в формулу суммы:

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{8 + 65}{2} \cdot 20 = \frac{73}{2} \cdot 20 = 73 \cdot 10 = 730$.

Ответ: $S_{20} = 730$.

в) Найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.

Мы знаем, что $a_1 = 8$ и $a_n = 3n + 5$. Подставим эти выражения в общую формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{8 + (3n + 5)}{2} \cdot n = \frac{3n + 13}{2} \cdot n = \frac{n(3n+13)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(3n+13)}{2}$.