Номер 628, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 628, страница 244.

б) Можно ли найти общее число шаров в пирамиде из 8 слоёв по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии? Сколько всего шаров в такой пирамиде?

628 Круги укладывают в форме шестиугольника так, как показано на рисунке 4.8: в центре помещают один круг и укладывают вокруг него круги таким образом, что они образуют пояса — первый, второй, третий и т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Сначала определим закономерность, по которой увеличивается число кругов. В центре находится 1 круг. Проанализировав рисунок, можно посчитать количество кругов в каждом "поясе":

В первом поясе — 6 кругов.

Во втором поясе — 12 кругов.

В третьем поясе — 18 кругов.

Мы видим, что количество кругов в каждом последующем поясе увеличивается на 6. Эта последовательность $(6, 12, 18, \dots)$ является арифметической прогрессией. Пусть $a_n$ — количество кругов в $n$-м поясе. Тогда первый член прогрессии $a_1 = 6$, а разность $d=6$. Формула для количества кругов в $n$-м поясе:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1)6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.

Теперь найдем формулу для общего числа кругов $S_n$ в шестиугольнике, который содержит $n$ поясов. Это число равно сумме центрального круга и всех кругов в поясах с 1-го по $n$-й:

$S_n = 1 + a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Сумма кругов в поясах — это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле:

$\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{6 + 6n}{2} \cdot n = 3(1+n)n = 3n(n+1)$.

Следовательно, итоговая формула для общего числа кругов в шестиугольнике с $n$ поясами:

$S_n = 1 + 3n(n+1)$.

Используя эту формулу, решим задачи из подпунктов.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?

Чтобы найти общее число кругов в шестиугольнике с 3 поясами, подставим $n=3$ в выведенную формулу:

$S_3 = 1 + 3 \cdot 3 \cdot (3+1) = 1 + 9 \cdot 4 = 1 + 36 = 37$.

Чтобы найти общее число кругов в шестиугольнике с 10 поясами, подставим $n=10$ в формулу:

$S_{10} = 1 + 3 \cdot 10 \cdot (10+1) = 1 + 30 \cdot 11 = 1 + 330 = 331$.

Ответ: в шестиугольнике с 3 поясами 37 кругов, а с 10 поясами — 331 круг.

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Нам известно общее число кругов $S_n = 127$. Необходимо найти число поясов $n$. Используем выведенную ранее формулу:

$S_n = 1 + 3n(n+1) = 127$

Решим это уравнение относительно $n$:

$3n(n+1) = 127 - 1$

$3n(n+1) = 126$

$n(n+1) = \frac{126}{3}$

$n(n+1) = 42$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 42. Методом подбора легко найти, что $6 \cdot 7 = 42$, следовательно, $n=6$.

Это же уравнение можно решить как квадратное:

$n^2 + n - 42 = 0$

Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $n_1 = 6$ и $n_2 = -7$.

Поскольку число поясов $n$ не может быть отрицательным, то подходит только корень $n=6$.

Ответ: в шестиугольнике содержится 6 поясов.