Номер 635, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 635, страница 245.

635 Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-102; -99; \dots$.

Данная последовательность является арифметической прогрессией ($a_n$). Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии: $a_1 = -102$.
Второй член прогрессии: $a_2 = -99$.

1. Найдем разность арифметической прогрессии $d$.
Разность вычисляется как разница между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = -99 - (-102) = -99 + 102 = 3$.

2. Найдем количество отрицательных членов прогрессии.
Для этого нам нужно найти, для каких номеров $n$ член прогрессии $a_n$ будет меньше нуля. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-102 + (n-1) \cdot 3 < 0$
$3(n-1) < 102$
$n-1 < \frac{102}{3}$
$n-1 < 34$
$n < 35$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то отрицательными являются члены с 1-го по 34-й включительно. Таким образом, всего в прогрессии 34 отрицательных члена.

3. Найдем сумму всех отрицательных членов.
Нам нужно вычислить сумму первых 34 членов прогрессии ($S_{34}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Либо, что удобнее в данном случае, формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Сначала найдем последний отрицательный член, $a_{34}$:
$a_{34} = a_1 + (34-1)d = -102 + 33 \cdot 3 = -102 + 99 = -3$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{34} = \frac{a_1 + a_{34}}{2} \cdot 34$
$S_{34} = \frac{-102 + (-3)}{2} \cdot 34$
$S_{34} = \frac{-105}{2} \cdot 34$
$S_{34} = -105 \cdot 17$
$S_{34} = -1785$

Ответ: -1785.