Номер 633, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 633, страница 245.

633 a) В арифметической прогрессии $(b_n)$ $b_6 = 20$, $b_{10} = 18$. Найдите $S_{20}$.

б) В арифметической прогрессии $(c_n)$ $c_5 = 16$, $c_{15} = 36$. Найдите $S_{25}$.

а)

Дана арифметическая прогрессия $(b_n)$, в которой $b_6 = 20$ и $b_{10} = 18$. Необходимо найти сумму первых 20 членов этой прогрессии, $S_{20}$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Используя данные, составим систему из двух уравнений:

$b_6 = b_1 + (6-1)d = b_1 + 5d = 20$

$b_{10} = b_1 + (10-1)d = b_1 + 9d = 18$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(b_1 + 9d) - (b_1 + 5d) = 18 - 20$

$4d = -2$

$d = -0.5$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $b_1$:

$b_1 + 5(-0.5) = 20$

$b_1 - 2.5 = 20$

$b_1 = 22.5$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Найдём $S_{20}$, подставив $n=20$, $b_1=22.5$ и $d=-0.5$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 22.5 + (20-1)(-0.5)}{2} \cdot 20$

$S_{20} = (45 + 19(-0.5)) \cdot 10$

$S_{20} = (45 - 9.5) \cdot 10$

$S_{20} = 35.5 \cdot 10 = 355$

Ответ: $S_{20} = 355$.

б)

Дана арифметическая прогрессия $(c_n)$, в которой $c_5 = 16$ и $c_{15} = 36$. Необходимо найти сумму первых 25 членов этой прогрессии, $S_{25}$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Используя данные, составим систему уравнений:

$c_5 = c_1 + (5-1)d = c_1 + 4d = 16$

$c_{15} = c_1 + (15-1)d = c_1 + 14d = 36$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(c_1 + 14d) - (c_1 + 4d) = 36 - 16$

$10d = 20$

$d = 2$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $c_1$:

$c_1 + 4(2) = 16$

$c_1 + 8 = 16$

$c_1 = 8$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2c_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Найдём $S_{25}$, подставив $n=25$, $c_1=8$ и $d=2$:

$S_{25} = \frac{2 \cdot 8 + (25-1) \cdot 2}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{16 + 24 \cdot 2}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{16 + 48}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{64}{2} \cdot 25 = 32 \cdot 25 = 800$

Ответ: $S_{25} = 800$.