Номер 626, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 626, страница 244.

626 Найдите сумму:

a) всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 120;

б) всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150;

в) всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5.

а)

Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 120. Эти числа (3, 6, 9, ..., 120) образуют арифметическую прогрессию.

Характеристики этой прогрессии:
Первый член $a_1 = 3$.
Последний член $a_n = 120$.
Разность прогрессии $d = 3$.

Сначала найдем количество членов ($n$) в прогрессии, используя формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$120 = 3 + (n-1) \cdot 3$
$117 = (n-1) \cdot 3$
$n-1 = \frac{117}{3} = 39$
$n = 40$

Теперь вычислим сумму прогрессии, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{40} = \frac{3 + 120}{2} \cdot 40 = \frac{123}{2} \cdot 40 = 123 \cdot 20 = 2460$.

Ответ: 2460.

б)

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150. Это числа, которые строго больше 50 и строго меньше 150. Они также образуют арифметическую прогрессию.

Найдем первый и последний члены этой прогрессии, а также ее разность.
Первый член ($a_1$) - это наименьшее число, большее 50 и кратное 4. Это $52$ ($13 \cdot 4$).
Последний член ($a_n$) - это наибольшее число, меньшее 150 и кратное 4. Это $148$ ($37 \cdot 4$).
Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов ($n$) в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$148 = 52 + (n-1) \cdot 4$
$96 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{96}{4} = 24$
$n = 25$

Вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{25} = \frac{52 + 148}{2} \cdot 25 = \frac{200}{2} \cdot 25 = 100 \cdot 25 = 2500$.

Ответ: 2500.

в)

Для нахождения суммы всех натуральных чисел меньше 100, которые не делятся на 5, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые делятся на 5.

1. Сумма всех натуральных чисел от 1 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$, последним $a_{99} = 99$ и количеством членов $n=99$. Сумма $S_{всех}$ находится по формуле: $S_{всех} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 = \frac{100}{2} \cdot 99 = 50 \cdot 99 = 4950$.

2. Сумма натуральных чисел от 1 до 99, которые делятся на 5. Эти числа (5, 10, 15, ..., 95) также образуют арифметическую прогрессию. Здесь первый член $b_1 = 5$, последний член $b_m = 95$, и разность $d = 5$. Найдем количество членов $m$: $95 = 5 + (m-1)5$, что дает $90 = 5(m-1)$, $m-1 = 18$, и $m=19$. Сумма этих чисел $S_{кратных\,5}$: $S_{кратных\,5} = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{5 + 95}{2} \cdot 19 = \frac{100}{2} \cdot 19 = 50 \cdot 19 = 950$.

3. Вычтем вторую сумму из первой, чтобы получить искомый результат: $S = S_{всех} - S_{кратных\,5} = 4950 - 950 = 4000$.

Ответ: 4000.